SOMMES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES

Comptes rendus de l’Académie, des Sciences; t. 96, 1883, p. 634.

Les récentes communications de M. Sylvester (!) me déterminent à faire connaître une méthode nouvelle pour l'évaluation des sommes de fonctions numériques. Cette méthode, fondée sur lPemploi des intégrales imaginaires, S'applique à des exemples variés, dont plusieurs ont été déjà traités différemment par Dirichlet (?), EU M. Mertens (5) et par M. Sylvester.

En étudiant le mémoire de Riemann (‘)sur la totalité des nombres premiers, J'ai été conduit à envisager les intégrales de la forme sui- 3 vante :

DÉS | Fe [€ L f(2) dz,

où la variable d'intégration suit une ligne À n’entourant pas le point zéro, et dont les extrémités sont 4 — io, a'+iæ, a et a! étant positifs. La lettre x désigne d’ailleurs une quantité réelle et positive (5). L'intervention de ces intégrales dans la question actuelle tient à la propriété suivante. Soit |

À (+) x(2) XC3) À(n) (2) FC EE + SAPSRE

RE EE EEE

(1) Comptes rendus, t. XOVI, 1883, p. 409 et 463 | Sylvester, Collected mathematical Papers, t. IV, p. 84 et 88.] Fi (2) Mémoires de l’Académie de Berlin (Abhandlungen) pour 18/49 (3) Journal de Crelle, t. 77, p. 289.

7 ) Œuvres complètes, p. 136. (°) Dans les Comptes rendus EMOAG ae ER 1e) de l’Académie de Berlin pour 1878, p. 53, M. Kronecker a déjà considéré ces intégrales pour un autre but.

" Le - 14 ee.

Si la ligne À est prise dans la région où vaut le développement (2),

on à g F(æ)=ÀA{)+X(2) +... +A(n),

n'étant l’entier contenu dans x.

Un développement, tel que (2), converge ou bien pour toute valeur de z, ou bien pour les valeurs dont la partie réelle surpasse une certaine limite /. Dans le premier cas el aussi dans le second, si {est négatif, F(x) ne croît pas indéfiniment avec x, mais converge vers f(o). Si, au contraire, l'est positif, F(x) croitindéfiniment avec æ, et l'intégrale (1) peut servir à trouver une expression asymptotique de F(x), dans des cas que je vais définir.

S1 la fonction f(z) est susceptible d’être prolongée pour les valeurs de z à partie réelle au-dessous de /, alors on peut considérer une intégrale (x), qui diffère de F(x) seulement par le chemin d’intégration. Ce chemin B aura pour extrémités b — iœ, b'+ io, b et bd! étant moindres que /, tandis que a et a! sont supérieurs à L.

Si, en outre, entre À et B, f(z) n’a pour points singuliers que des pôles, et que les intégrales prises entre les extrémités correspondantes de À et B soient évanouissantes, F(x) et D(x) ne diffèrent que par des résidus. Soit 3 — w un de ces pôles, multiple d’ordre u, le résidu R,, a la forme |

Rs #0 (Prlogtrtr Pl, los er Er ee Pr),

où P,,..., P, sont indépendants de x. On a ainsi

F(x) = b(æ)+ > Ras o

Il arrive généralement alors que ER, est une expréssion asymptotique de F(x). Effectivement une intégrale, telle que (1), prise en ligne droite, de a— io à a +i, est, le plus souvent, infiniment plus petite que x, pour x infini. Cette conclusion est assurée, notamment, lorsque f(z). reste finie et oscille seulement dans une portion finie de la ligne A. S'il en est ainsi.pour la ligne B, D(x) est infiniment plus petite que x®, et les résidus donnent bien l'expression asymptotique de F(x).

Ces diverses circonstances se rencontrent dans de nombreux exemples. Des artifices très simples les mettent en évidence. C’est ce que je vais faire voir maintenant.