SUR L’APPROXIMATION DES SOMMES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES

Pour À(n), prenons le nombre des nombres premiers avec n et qui lui sont inférieurs. Pour la série (2), nous avons alors cette.

expression, indiquée par M. Lipschitz (! Ÿs

ECS E)

Nr cn où 6 (3) désigne la fonction ;

I , L(a)=i+ + Se. PRET ARE

La limite / est ici égale à 2. D'autre part, la fonction C(z), prolongée par Riemann, est uniforme, douée du seul pôle 3 = 1, dont

le résidu est l’unité; en outre, pour les valeurs de 3 à partie réelle | au-dessus de 1, elle ne possède aucune racine. En prenant les che- . mins À et B de part et d’autre du point 2, le dernier entre 1 et 2, ; R | x és CET (3) x?

| on a donc, pour f(z), le seul pôle 2. Le résidu de CAC) Len, 4 3 2C(2)

ou

— Nous avons donc

(3) PRE ta

si toutefois nous pouvons prouver que les intégrales prises entre les extrémités correspondantes de À et B s’évanouissent, Or voici l’artifice très simple qui s'applique ici. À

Considérons la fonction 6(z3), analogue à €(3), savoir :

qui est définie par cette série pour les valeurs de 3 à partie réelle positive. Elle est liée à C(z) par la relation

HO HN Cr) mer (Tee ie) | Si l’on pose “4 PRIE È | NE travers

le développement de f,(3) sous la forme (2) est encore valable

(!) Comptes rendus, t. LXXXIX, 1879, p. 986.

quand z à sa partie réelle entre r et 2. Donc l'intégrale

Fi()= = [ fi(s) de reste la même si on la prend le long de À ou le long de B. Donc les