RICE

intégrales de © entre les extrémités de À et B s’évanouissent.

: : ; É (z D’après la te (4), cette conclusion s'étend à ET CET te galité (3) est donc prouvée.

Pour évaluer maintenant (x), je l’écris ainsi

Aie = ÎT DRE) ES LR B

2TL g C(s)-:11 2177

Puisque, le long de B, la partie réelle de z est moindre que 2, on aura une série convergente en développant le dernier facteur suivant les puissances croissantes de 2772, et INfÉPRAn les termes de la série. J'ai ainsi

— PT) — = F1(2 + Fe

je ee

Cette série étant convergente, la somme des termes à partir du n°"

est infiniment petite pour À infini. Faisant 2*x = x, j ai donc

, I aa I | Ma ae = 0.

X—= co

Donc lim ETO] 0 DONC EN)

asymptotique, comme l'ont trouvé les os cités plus haut.

Dans une communication ultérieure, si l’Académie veut le permettre, j indiquerai d’autres applications, dont une fort importante. Je prouverai, en effet, que la fonction de M. Tchebychef, somme des logarithmes des nombres premiers inférieurs à x, est asymptotique à æ, ce qu’on n'avait pu établir Jusqu'à présent (1).

(') [ Halphen reconnut, comme il l’a expliqué dans sa notice sur ses travaux — Œuvres d’'Halphen, t. I, p. 42 —, que cette application de sa méthode présentait des difficultés qu’il n'avait pas prévues; et il ne fit pas la communication annoncée ci-dessus. Cahen a essayé plus tard de reprendre l’analyse d'Halphen ( Annales de l'École normale supérieure, 3° série, t. XI, p. 114, 1894). Mais le théorème en question n’a été établi en toute rigueur que par de la Vallée Poussin (Annales de la Société des Sciences de Bruxelles, t. XX, p. 183-256, 1896), et par Hadamard (Bulletin de la Société mathématique, t. XXIV, p. 211, 1896). La méthode d'Hadamard est inspirée par celle d'Halphen |. (Note des éditeurs.)

mr Q ————

SUR LA

THEORIE DU DEPLACEMENT Nouvelles Annales de Mathématiques, 3° série, t, 1, 1882, p. 206.

M. Cyparissos Stephanos a fait connaitre, dans le Bulletin de la Société Philomathique (7° série, tome VI, page 13), l’élégante proposition que voici :

Trois figures égales, situées d’une manière arbitraire sur un plan, coïncident avec les symétriques d’une même figure, prises respectivement par rapport à trois droites.

Le même géomètre a énoncé aussi, dans une communication verbale, une proposition analogue et relative à trois positions, occupées dans l’espace par une même figure, dont un point reste fixe. En cherchant à généraliser encore, j'ai été conduit à mettre sous une forme très simple les éléments de la théorie du déplacement. C’est ce que je me propose de faire voir dans cette note.

Soient, dans l’espace, F, et F, deux positions d’une même figure, tellement choisies qu'une droite de la figure F, coïncide avec son homologue de la figure F,, non seulement en position, mais encore en direction. Soit À,, cette droite. La figure F, étant donnée, ainsi que la droite À,,, on obtient F, en imprimant à F, deux mouvements, l’un de translation, l’autre de rotation, le long et autour de À,2. L'ordre dans lequel s'effectuent ces deux mouvements n’influe pas sur le résultat, S'ils s'effectuent ensemble et par quantités proportionnelles, le mouvement résultant est hélicoïdal. Pour cette raison, le déplacement est dit hélicoïdal. Ici on ne considère que le déplacement final, sans avoir égard au mouvement par lequel on l’obuent.

Je dirai qu’un déplacement hélicoïdal est la moitié d’un autre déplacement hélicoïdal, si, l’axe étant le même pour tous deux, la translation et la rotation le long et autour de cet axe sont, pour le premier et le Second respectivement, dans les rapports de 1 à 2.

Dans F, prenons une droite D, rencontrant l’axe AÀ,, à angle droit,

100 ‘ OEUVRES DE G. The HALPHEN.

La droite homologue, dans F,, est de même une droite D nes l’axe à angle droit. Ces deux droites D et D, ont un axe de symétrie et un seul, quand on suppose ces-droites caractérisées non seulement par leurs positions, mais encore par des directions choisies sur chacune d'elles. Les directions étant choisies ici homologues, l’axe de symétrie est une droite D}, rencontrant l’axe À,, à angle droit, et sur laquelle viendrait s'appliquer D, par le déplacement +(A,>), moitié du déplacement (A,,) changeant F, en F3.

Faisons tourner la figure F, d’une demi-circonférence autour de D,. Nous obtenons une figure F. Les droites D, et A,, de F, ont pour homologues, dans F, les droites D, et A',, cette dernière n'étant autre que À,, changée de sens.

Faisons ensuite tourner F d’une demi-circonférence autour de D; nous obtenons une figure égale, dans laquelle les homologues de D, et À’, sont D et AÀ,,, puisque D est symétrique de D,, par rapport à D. Cette dernière ligure est, par conséquent, F,. J'ai donc la proposition suivante :

Soit un déplacement hélicoïdal (A,:) changeant une figure, en une figure F,. Prenons une droite D, rencontrant à angle droit l’axe du déplacement, et la droite L,, sur laquelle viendra s'appliquer D, par le déplacement <(A,,). Les symétriques de F, et F, prises respectivement par rapport à D, et D, coïncident entre elles.

Prenons maintenant une nouvelle position F; de la même figure, en donnant à F, un déplacement hélicoïdal (A:3) autour d’un autre axe. Les figures F, et F; seront de même les symétriques d’une figure K° par rapport à deux axes D°,, D,. Mais D, et D’, peuvent être arbitrairement choisies parmi les droites qui rencontrent à angle droit l’une AÀ,,, l’autre À,,. On peut donc fare coïncider D, et D’, en choisissant la perpendiculaire commune à A,, et A:3. Alors F et F” coïncident, et F,, F,, F; sont symétriques d’une seule êt même figure F, respectivement par rapport à trois droites D,, D, D:.

Soit maintenant À;,, la perpendiculaire commune à D, et D. Cette droite, envisagée dans F, a pour homologue A°,, c’est-à-dire elle-même, mais changée de sens, aussi bien dans F, que dans F4. Ainsi À,3, considérée soit dans F,, soit dans F;, est à elle-même sa propre homologue. Elle est donc l’axe d’un déplacement hélicoïdal

NPPT RENTE