SUR LA THÉORIE DU DÉPLACEMENT. IOI

changeant F, en F;. Ce déplacement est le résultant des deux précédents, et 1l est manifeste que le demi-déplacement £(A,;) est celui qui change D, en D;. Ainsi :

Soient deux déplacements hélicoïdaux, ayant pour axes As et A3.

S'otent :

D, la perpendiculaire commune à ces deux axes;

D, {a droite qui est amenée sur D, par le demi-déplacementi(A,>);

D; la droite sur laquelle est amenée D, par le demi-déplacement 5 (A3);

Les deux déplacements (À,2), (A»3), étant opérés successivement et dans cet ordre, équivalent à un déplacement hélicoïdal unique (A3), dont l'axe est la perpendiculaire commune à D, et D;,. Le demi-déplacement + (A3) est celut qui amène D, sur D; (*).

Deux droites dirigées ayant, comme je l’ai observé plus haut, un axe de symétrie, on peut amener en coïncidence deux droites homologues de deux figures égales par une rotation. Il est donc évident que tout déplacement peut être obtenu, d’une infinité de manières, par deux déplacements hélicoïdaux successifs. La dernière proposition donne donc le théorème fondamental : |

Tout déplacement dans l’espace équivaut à un déplacement hélicoïdal.

En conséquence, dans le raisonnement ci-dessus, K,, F;, F, sont trois positions tout à fait arbitraires d’une même figure, et la proposiion de M. Stephanos se généralise ainsi :

Trois positions quelconques d’une même figure dans l’espace sont les symétriques d’une seule et même figure, prises respectisement par rapport à trois droites.

Chaque axe de symétrie est la perpendiculaire commune aux axes de deux des déplacements hélicoïidaux qui amènent les figures données les unes sur les autres.

(1!) Pour le cas particulier de deux rotations autour d’axes qui se rencontrent, on retrouve le résultat démontré par M. Brisse dans son mémoire Sur le déplacement Jini quelconque d’une figure de forme invariable (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3° série, t. I, p. 142). |

——— sr Q — -

SUR LES MULTIPLICATEURS

DES

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 97, 1883, p. 1408, 1541; t. 98, /1884,"p. 134.

Si, entre diverses solutions inconnues d’une méme équation différentielle linéaire, il existe une relation connue, quel parti peut-on en tirer pour l'intégration ?

Cette question comporte une réponse précise si la relation donnée est algébrique; mais ici j’examinerai seulement un cas, encore très général, auquel, d’ailleurs, se ramènent tous les autres : le cas où un polynôme entier et homogène des solutions inconnues est égal à une fonction connue de la variable indépendante.

Soit l'équation proposée

U — LA) ne a; yUi—1) ses ag in?) + ne An Y' + AVE 10:

Envisageons 7 solutions distinétes n,, ..., x de l'équation adjointe. À chacune d'elles correspond une intégrale première

(1) Tip — by? ne ba y) Et ( — 1)#—1 PTE CR Les coefficients b s'expriment en fonction de ; comme il suit :

| bi en 0; — Œi Ti»

(2) j bi: = Ur — (&ini) + doi, | b3= nj — (ani) + (asn:) — asni,

Soit maintenant f(c) un polynôme entier et homogène, du degré m, par rapport à ci, ..., ©, et à coefficients constants. En vertu des

égalités telles que (1), on peut considérer f(c) comme un polynome F, entier, homogène, du degré m, par rapport à 7-1), ..., y, et à coefficients dépendant de la variable x. Dans F, le coefficient de [y(*=1]# est f(n). Quant aux autres coefficients, on reconnaît aisément qu'ils s'expriment en fonction linéaire de f(n) et de ses

dérivées par des formules dont les égalités (2) constituent un cas

particulier; par conséquent, en général, si l’on connaît l'expression de f(n) en fonction de x, on en pourra déduire explicitement F comme un polynôme du m°"° degré, en 7-1), ...,;y, avec des coefficients connus. En l’égalant à une constante, on aura une intégrale de l’équation proposée.

Nous appellerons f(n) la source de l'intégrale.

Il importe, avant tout, de connaître les cas d'exception, ceux où la source ne détermine plus l’intégrale sans ambiguïté. Un de ces cas se présente évidemment si la source est zéro, si donc entre les n il existe une relation homogène, du degré m, à coefficients constants. C’est d’ailleurs le seul cas d’exception; si, en effet, deux intégrales du degré m'ont une même source, leur différence est une intégrale dont la source est zéro. Par là, on reconnaît que, si entre les n 1l existe p relations homogènes, du degré m, linéairement distinctes, les coefficients des intégrales, de ce même degré m, se déterminent, la source étant donnée, par une équation différentielle linéaire d'ordre p.

Considérons pour f(n) une forme réduite, soit

HONG RCE pEle CNE CE See

obtenue avec les variables

Ci = Xi,191 Fe di,202 + ARE ia Li,n On. z »

Désignons par 2; la. combinaison semblable

3i= Qj1C1+ dj2Cat..e + &inCn)

où les c sont remplacés par leurs expressions (1). Nous obtenons, pour F, la forme réduite |

En NX ee n F—AzuzS... 2 + Bzfizbs... 30 rent

Si cette forme réduite ne peut être obtenue que d’un nombre limité de manières, la réduction, opérée sur F, fera connaître les

intégrales linéaires z, et l'intégration sera complète, pourvu toutefois que la forme réduite contienne des variables effectives 3 en nombre n.

Les polynômes à n variables, dont les formes réduites sont indéterminées ou bien contiennent moins de nr variables, forment une catégorie d'exception très bien connue, où se rangent notamment Îles polynômes du second degré. À cette exception près, la connaissance d’une intégrale F entraîne l'intégration complète. D'autre part, la connaissance de f(n) conduit à une intégrale F et, par suite, à l’intégration complète de l’équation qui a pour inconnue y. Mais, par cette dernière, s'intègre aussi l'équation dont n est l’inconnue.

Donc :

Si, en fonction de la variable indépendante, on connaît l’ex-

ression d'un polynôme, à coefficients constants, homogène et du ) y tæ) :

degré m, par rapport aux solutions d’une équation différentielle linéaire, cette équation s'intègre complètement, pourvu que : 1° Le polynôme ait une forme réduite déterminée, contenant des variables effectives en nombre égal à l’ordre de l'équation; 2° Entre les solutions il n'existe aucune relation homogène, à coefficients constants, d’un degré égal à celui du polynôme.

La considération de la forme réduite peut être remplacée par celle des covariants qui la fournissent, et par là se retrouve le beau théorème découvert par M. Darboux (!): Tout covariant d’une tntégrale est lui-même une intégrale (Véquation étant privée du second terme). +

Pour les applications, on facilite singulièrement les calculs en considérant, au lieu des intégrales, les multiplicateurs qui les fournissent. Soit F une intégrale, du degré m. Sa dérivée F’ se décompose en deux facteurs, dont l’un est le premier membre Ü de léquation différentielle, l’autre un polynôme homogène et du degré m — 1 par rapport à y(?-1),...,7, à coefficients dépendant de x. Ce dermier est le multiplicateur qui fournit l’intégrale F. Dans ce multiplicateur ©, le coefficient de [y(*-"]#-! est précisément la source de Fet peut aussi être appelé la source de ©. En effet, les autres

(:) Sur les systèmes d'équations linéaires à une seule variable indépendante (Comptes rendus, t. XC, 1880, p. 524 et 596),