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coefficients s’en déduisent encore sans ambiguïté, sauf le cas d’excepuon signalé plus haut.
Voici comment on peut, pratiquement, calculer un multiplicateur. NME I Ï Tout polynôme homogène en y, y’, y”, ..., à coefficients dépendant de +, peut être décomposé en une somme de deux parties P+Q, dont l’une P'est la dérivée d’un polynôme analogue, et dont l’autre poty sue; est caractérisée par ce fait qu’à chaque terme la dérivée de y, de l’ordre le plus élevé, a l’exposant 2, au moins. C’est ce qu’on voit P ; P ) Il sur l’exemple suivant :
11 DE ; I S ; 1 I AY?Y = [AU 7) RAM d'y" | HP NN AY Pour que le polynôme proposé soit la dérivée d’un polynôme analogue, 1l faut et il suffit que Q n'existe pas. En prenant donc un multiphicateur, de degré m —1, à coefficients indéterminés, effec-
tuant son produit par Ü, calculant Q et égalant tous les termes à
zéro, on obtiendra les équations propres à déterminer ce multiplicateur.
Dans une prochaine communication, je donnerai une application de cette méthode, ainsi que de la proposition suivante, analogue à celle de M. Darboux : Tout invartant d’un multiplicateur est la source d’un autre multiplicateur (l'équation étant privée du second terme). Le degré de ce dernier est inférieur d’une unité au degré de l’invariant par rapport aux coefficients.
. On peut, en général, intégrer complètement une équation linéaire quand on connaît, en fonction de la variable indépendante, Pexpression d’un polynôme à coefficients constants, entier et homogène par rapport aux solutions inconnues. C’est ce que j'ai montré daus une communication récente. Je vais aujourd’hui traiter un cas de la question générale, et intégrer une équation du troisième ordre, connaissant, en fonction de la variable indépendante, l’expression d’un polynôme homogène du troisième degré, composé avec les solutions inconnues. |
Soit p la fonction donnée; soit aussi
(1) "+ ay'+ by = 0
l’adjointe de l'équation proposée. Le problème consiste à trouver, pour cette adjointe, un multiplicateur © du second degré, ayant p pour source : |
o=py"?+gy?+ry + hy y"+ lyy"+ myy.
Le procédé que ja indiqué dans ma note PERÉSERES conduit, pour ce but, aux six équations suivantes :
3h+2p =0, 4qg+h'+l—2ap=0, l'+2m—2bp = 0, 2g"+6r+5m+6Gag—2(ah) —3al—3bh =, 6r'+ m'— (al) +2am+2bg —(bh) —/,bl = 0,
"+ (ar) —3br—(bl) +(bm) = 0.
Des quatre premières, on tire L, /, m, r exprimés linéairement par p, g et leurs dérivées. Substituant dans les deux dernières, et représentant par À, B deux fonctions linéaires de p, p', ..., j'obtiens
: RE TEE à :
| 3 je (2) g"+ aq + (ia+ dr) ge = 0, (3) 21P4 + 709 HAE") PB 0,
formules dans lesquelles j'ai introduit, au lieu de b, l’invariant » : pb — a —206.
L'élimination de qg entre (2) et (3) conduirait à l’équation du dixième ordre, d’où dépendent les fonctions p. Mais, par hypothèse, nous connaissons une de ces fonctions, et nous avons simplement à trouver gq.
Écartons d’abord le cas particulier où l’invariant » est nul. En ce cas, signalé pour la première fois par M. Laguerre (!), l’équation s’abaisse au second ordre. L’équation, d’où dépend p, s’abaisse au septième ordre et se réduit à B— 0; enfin g est donné par la seule équation (2), qui n’est autre que la proposée avec un second membre. : Conformément à la théorie générale, cette circonstance signifie qu’il existe, entre les solutions, trois relations homogènes du troisième degré, linéairement distinctes. C’est effectivement le cas, puisque entre ces solutions existe une relation homogène du second degré.
L’invariant v étant maintenant supposé différent de zéro, on pourra,
(*) Comptes rendus, t. LXXXVIIL, 1879, p. 116 et 224. [ Œuvres de Laguerre, t. I, p. 420 et 424.]
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SUR LES MULTIPLICATEURS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 107 par deux différentiations, éliminer 7” et g” des équations (2) et (3).
Il s’introduit alors un nouvel invariant à
= gas?+7p2— 6ve”,
et, C, D étant deux nouvelles fonctions linéaires de p, p', ..., on trouve I #4 = - 1 4 è AXE = p3 14} sure (he É2e) = É 33.7 3627 5 28 0p— —< pè — —p*) g' 6) ( 2 ro }« rs n SNS! 21 Sy RS a 1 —- STE S le 7 COIN REA
De ces deux dernières, on pourra tirer g' et g si le dénominateur commun n'est pas nul. Si le dénominateur est nul, on ne pourra obtenir g que par l'équation (4); c’est qu’alors, d’après la théorie générale, les solutions sont liées par une relation homogène du troisième degré. Pour former ce dénominateur Q, il convient d'introduire les invariants
et l’on trouve 34:72 & 39.53 Re I 7 \ Q — 50 — / LI Èy — —— PT + — 20? +168) 2 100 RANæ F
L’équation 9 — o exprime que les solutions de l’équation différentielle sont liées par une relation homogène du troisième degré à coef fictents constants. Cette expression est ici donnée par les inva-
riants de l’adjointe (1);
; mais, pour y faire figurer les invariants de
l'équation proposée elle-même, on n’a qu'à changer les signes de r, à, et 6, sans modifier celui de ë.
Supposons maintenant le cas sénéral, celui où linvariant Q n'est pas nul. Les équations (4) et (5) donnent g explicitement, et le mulüplicateur © est entièrement connu. On en pourra conclure lintégrale, du troisième degré, correspondante; mais on peut éviter de considérer cette intégrale et opérer sur le multiplicateur seul.
On calculera le discriminant de &. Soit p, ce discriminant; il est la source d’un nouveau multiplicateur #,, du second degré, qui se calculera comme le précédent. Or l'intégrale fournie par ©, est le covariant hessien de l'intégrale fournie par +. La théorie des formes cubiques ternaires conduit, d’après cette remarque, à achever ainsi
108 OŒUVRES DE G.-H. HALPHEN.
la solution. On calculera le discriminant de ho: he 1P5 c’est une forme cubique en À, L, qui pourra s’écrire ainsi
7% rl | T2 (us — . LÀ? — FA) Pi + È 21 + Tur+ ES :) P
Les lettres S, T désignent des constantes, les invariants de l’intégrale correspondant à &; ce sont aussi les invariants du polynôme du troisième degré, dont p est l'expression donnée. En prenant u : À racine de l'équation
pi — S u2)}2— s Tu — — Shi 0,
on aura un multiplicateur Àv,+ po correspondant à une intégrale qui se décompose en trois facteurs. Chacun de ces facteurs est une intégrale première linéaire de Péquation (1) et, dans un tel facteur, le coefficient de y” est une solution de l’équation adjointe, c’est-àdire de l’équation proposée. La théorie des formes cubiques fait connaître l’expression de ces facteurs, comme covariants irrationnels, dépendant d’une équation du troisième degré. On en déduit Re lement l’équation du troisième degré d’où ban les coefficients de y” dans ces covariants, et cette équation se forme au moyen de & et ©,. La méthode conduit donc à trouver explicitement les solutions cherchées par des calculs algébriques.
Il yades cas d’exccption : ce sont ceux où l'intégrale COrrespon-
dant à w est décomposable en facteurs elle-même. On en sera averti + P :
“par les valeurs numériques de S, T. S'il en est ainsi, la solution exige une ou deux quadratures; mais ce sont des détails sur lesquels il est inutile d’insister.
S1 l'Académie veut bien le permettre, je donnerai ultérieurement
des applications numériques de cette théorie.
Dans ma dernière communication, j'ai indiqué comment, par le moyen des multiplicateurs homogènes, on peut intégrer une équation du troistème ordre, connaissant, en fonction de la variable indépendante, l'expression d’un polynôme homogène du troistème degré, composé avec les solutions inconnues. Je vais donner les formules explicites qui résolvent ce problème et présenter un exemple. |
