PUR T
Soit p une fonction donnée comme l’expression du polynôme envisagé, et soit My"+3Ny'+3Py'+Qy=o.
l'équation proposée. Considérant la fonction adjointe F=(Mz)"=—3(N3) + 3(Pz) — Qz,
on détermine le multiplicateur du second degré, qui a p pour source. Ce multiplicateur A est un polynôme homogène et du second degré par rapport à z, z/,5 ; ses-coefficients sont des coefficients de la variable indépendante; le coefficient de 3”? est 3M2p, et les autres, comme Je l’ai précédemment montré, s’en déduisent par la condi-
tion que ÂF soit la dérivée d’un polynôme du troisième degré en 3,
ND
Le discriminant de A fournit la source d’un multiplicateur analogue. Il est plus commode de faire intervenir dans les formules une combinaison linéaire quelconque des deux sources, comme il suit.
A la fonction p est conjuguée une autre fonction analogue pi, source d’un second multiplicateur À,.
2 f Sax
DOIR pe M; envisageons les deux formes quadratiques
pA = Sa;;zû si), Fee zti) zU)
et leurs discriminants D, D,; formons, en outre, avec les coeffi-
cients à, 8 des formes adjointes, les combinaisons
: Bi ES ; Le Zb;; Li, Ci= Zi; Bij .0 = 2%: Bot — 400 Bi — 11 Boo:
Ces diverses fonctions sont liées entre elles par les relations suivantes, OÙ 4, P, U, V1, désignent des constantes :
D = up + ep, Di= uipi+ ip,
G) C = 3(wp — upi), Ci= —3(wpi+ up).
Il existe, en outre, entre les constantes la relation (2) W1 — quui = 3 w?.
Soit maintenant / : /, racine de l’équation
pli AuBli— 60217 + Aus lili — pilt =
Ï10 l OEUVRES DE G.-H. HALPHEN.
et m, m1, p déterminées par l’ensemble des relations concordantes
(01 li — ul}?
8—= PROS AR ROLE 2 VE RE nf A ARE ul 7 sa? (UE Pi wie pile
: (oel— ul}?
SL SAM INT EL Re ANR CNE RSR ST ra SAGE g(u?+væw)l?— (ul; — ol}?
mi (ul; — ol) m2 F. PCT AN
ul —o! uil— vil; mi li 1120
Les solutions de l'équation différentielle sont données par l’équation du troisième degré
J°— (p+ hp1)7$+ (np + mapi)ÿ*
2 (PE mp qe 12 Are
Il est à remarquer que cette solution ne se trouve pas en défaut dans le cas où la source donnée est égale à zéro. C’est précisément à ce cas
que se rapporte l'exemple suivant :
Intégrer l'équation . fl > ! (/4 f " ! I 71 (3) RO en
où f désigne un polynôme du troisième degré, sachant qu'il existe ‘entre les solutions une relation homogène du troisième degré à coefficients constants.
Le multiplicateur A, dont la source est zéro, a l'expression suivante :
A = fz? + NES Le 2/22 —4f22",
La source conjuguée est l’unité,-et voici le multiplicateur corres-
pondant :
A A 3 (+ fs) — I (trs pra 72 Il t LU 72 AE 2 72 2 LErx 97 / 4 SE af CJs' + j'a") Hd ae
RES do DS
SUR LES MULTIPLICATEURS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. Titi
En appliquant les formules ci-dessus, on obtient le résultat que VOICI :
Soit f(x) = 0,2 +3a,;x? + 3a,;x + a, le polynôme qui figure dans (3); on en déduit l'équation dht+ 4a 3 + 6a2 2 + 4 a3 À + SE = O, déterminant une constante À. Les solutions de l'équation (3) sont données par l'équation du troisième degré
}r°+ 3aof'(À)
mel | OU = (ao + ai}?
La même méthode peut être appliquée à l'équation plus générale
F7" + "+ Li — E)fy - re nr 0 où » est un entier positif ou négatif, premier avec 3. Cette équation, dont la précédente est un cas (7 — 1); et dont l’adjointe s’obtient par le changement de n en — nr, admet toujours des multiplicateurs, du : second degré, ayant pour coefficients des polynômes entiers. Son groupe est hessien, et elle a pour solutions des polynômes entiers et homogènes formés avec les solutions de (3). Je l’ai déjà étudiée par des procédés tout différents dans mon Mémoire sur la réduction des équations différentielles linéaires (!), en prenant pour variable
4 dx l’intécrale | =.
grale f VF
Ch} Œucres d'Halphen 1 III fp. 255;
