DU TROISIEME ORDRE

Extrait d’une lettre adressée à M. F. Klein (Mathematische Annalen, t. 21, p. 461).

Votre beau mémoire Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen (Math. Ann.,t. XIV) renferme, à la page 455, une note qui a vivement piqué ma curiosité : « Sie muss (die Gleichung 168" Grades) sich auch durch eine lineare Differentialgleichung dritter Ordnung Iôsen lassen; wie hat man diéselbe aufzustellen? »

L'étude de votre mémoire, que je me reproche d’avoir si longtemps différée, m'a tout de suite convaincu que je pourrais aisément construire l’équation différentielle désirée. M’étant mis à cette besogne, j'ai été agréablement surpris de voir cette équation appartenir à un type que J'ai étudié dans mon Mémoire sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables

(p> 100 eL210) 0:

Il s’agit de l'équation que j'écris sous forme abrégée dy

la variable auxiliaire x et les coefficients h, L étant liés à la variable indépendante « par les relations

do =+1 dh TALEUEe 3 | C3.

h3=r(ax —1)(a + c);, MC (a+ re | |

(1) [Œuvres d’Halphen, t. Il, p. 173 et 192.] Une Note de F. Klein indique ici que Brioschi a obtenu également des équations différentielles linéaires, qui <e rapportent à la question traitée par Halphén (Annali di Matematica, série 2, t. XII, p. 64) [ Brioschi, Opere mathematiche, t. II, p. 312.] (Vote des éditeurs.)