a+ aa’ + a

Ca a —————— 7 m?

Cette équation, étant développée avec la variable x, est à coefficients ; P ; rationnels ; mais 1l vaut mieux la conserver sous la forme symbolique ci-dessus, où les éléments essentiels sont en évidence. En faisant connaître cette équation, j'ai signalé plusieurs cas que je prends la liberté de vous rappeler.

Cested'abordeléecas m—2/4—1,g—21|p4r du: mémoire

cité (!)] : les solutions 74, y2, 3 sont proportionnelles à trois poly-

Fr 1 AE | | a+I nomes entiers du troisième degré, formés avec la variable | ) LVa—:1 , . LA ) ou, en d’autres termes, sont proportionnelles aux coordonnées d’un point mobile sur une cubique à nœud.

C’est ensuite le cas m— 2, a—1 et a! quelconque, même frac-

tionnaire | p. 237 (?)[. En faisant a = 2 (: — 1): on a ce résultat que

trois solutions sausfont à la relation Via hi tai 0)

et sont ainsi proportionnelles aux coordonnées d’un point mobile sur une courbe triangulaire symétrique.

En particulier, si l’on prend y—3, ce cas coïncide avec cet autre Mm—6,a—=1, a — 2, et la courbe est une cubique équianharmonique.

RE 5 Ur | : a PT AT NOT EE 7 À J'ai fait voir, en général, que a, a”, m étant positifs et — , —, ——— nm nm m

fractionnaires tous trois, et ayant pour plus petit commun dénominateur m, l'équation s'intègre algébriquement si m est égal à 5, 4 ou 5. J’ai calculé de nombreux exemples pour ces cas, qui se rattachent à la

(1) [Œuvres d’Halphen, t. II, p. 124.] L7bid UT, p.206]

théorie des groupes finis de substitutions linéaires pour les variables binaires.

Il résulte aussi de ce qui est dit à la page 219 (!) et au chapitre IX de mon mémoire, etA ai eu le tort de ne pas énoncer explicitement, que l'équation s'intègre encore algébriquement quand m est égal à 0, pourvu que 2a+ a ne soit pas divisible par 5.

Ces propriétés donnaient déjà de l’intérêt à l'équation dontil s’agit. Mais voici maintenant du nouveau :

Dans le cas m—1,a—1,a4 —2, trois solutions y1, Y2, Ya satisfont à la relation

PISE EII TENNIS et sont ainsi proportionnelles aux coordonnées de la courbe du quatrième degré, qui se reproduit elle-même par les substitutions de

-votre groupe d'ordre 168.

Pour être tout à fait explicite, posons J= tit aias+ «it:

et désignons, suivant vos notations, par V, CG, K les trois covariants de f, ayant les degrés respectifs 6, 14, 21. - Par les relations HAEIO et 1—œ 1: 0 = C3: K?: 33 96V1

(ce qui revient à faure = —— à la page 449 de votre mémoire ), déterminons le rapport de x,, æ», æ3.

Alors l’équation différentielle admet les solutions

K 3 . A = (&) Ti (t =1, 2,53). |

Pour qui a pris la peine d'étudier ma théorie des invariants différentels, la démonstration est très facile. Elle découle immédiatement de ce fait que les points de coïncidence de la courbe f = 0 (points en chacun desquels, 8 points consécutifs étant pris pour pivots d’un faisceau de cubiques, le neuvième pivot coïncide avec les précédents) sont au nombre de 224 — 168 +56; d’où il suit que, parmi eux, se trouvent les points de contact des tangentes doubles.

À chaque équation de la forme ci-dessus s ’en adjoint une seconde

(1) [Œuvres d’Halphen, t. TI, p. 191.] é

Let bat né à dal dut : ‘à