K3| OV OV OV

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et de même y, et y: par le changement des indices. Il ne me paraît pas douteux qu'il existe une infimité de cas m—7 où l'équation s'intègre par la formule

K 3 HE (=) F(æ1, Ta, T3); F étant un polynome entier du degré 2(2a+a)— 17. Mais, à cet égard, je n'ai pas jusqu'à présent de critérium bien établi qui distingue ces cas. Il est vraisemblable que les conditions suivantes sont

nécessaires : 2a + d' et 24/+ a sont premiers avec 7.

Paris, le 11 juin 1884.

SUR

Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 98, 1884, p. 422.

M. Maurice Lévy a montré (!‘) qu’une verge élastique, de forme circulaire, soumise à une pression toujours normale et uniforme dans toute sa longueur, se place en équilibre suivant une courbe dont la courbure en chaque point est une fonction linéaire du carre de la distance de ce point à un centre fixe. I en a conclu que les questions concernant l'équilibre de la verge se ramènent à des problèmes sur les fonctions elliptiques. Effectivement, lare s, le rayon vecteur r et l'angle polaire 0 de la courbe d'équilibre sont liés ainsi :

r dr dr Apr prie. 0

AT à ARR SEE RER € US De VAE (Art+ Br?—+ Cy.

(1) ds — a T'ÿYri=(Art<Bri+ CG}

Les constantes B et GC ne sont pas données; elles dépendent des conditions du problème, mais la constante À est donnée; son expres-

sion est > p étant la pression, E le coefficient d'élasticité et I le moment d'inertie de la section droite par rapport à un axe, mené au centre de gravité de la section, perpendiculairement au plan de la courbe.

Avec les notations des fonctions elliptiques adoptées par M. Weierstrass, l’inversion des formules (1) se fait comme il suit. La lettre w

désigne une variable, » et x des constantes. Ces quantités sont

(1) Sur un nouveau cas intégrable du problème de l'élastique et l’une de ses applications (Comptes rendus, t. XCVII, p. 694; et Journal de Mathématiques pures et appliquees, 5° série, t. X, p. 5).

réelles, ainsi que les invariants g, 93, : | p 72 DUO s—ap(r)u, TR LP Ce) —.p (£ — cu) | Le (eo) + p (Re iu) | , PAEE A 5 (ia) (2 —êu Terote) J É à ; 2

2 = u + QG " ——.

c(e) 21 p Ps 39 :

- +iu)]s(— +iu à à

Voici les expressions des constantes primitives : 4,(v) désigne la

. Q x Le 2 A SANS AC 39) fonction relative à la multiplication par 3, savoir d3(6) — s(P)? . I k ae p'(e) Pts CP) 2 as p'(p )? x 2 ap (ve) Rs p'(p)?

Pour le cas où la figure primitive de la verge est un anneau, M. Maurice Lévy a précisé le problème ainsi : La courbe*doit étre fermée et avoir un périmètre donné. Il l’a résolu par l'emploi direct des formules (1). J'ai traité le même problème au moyen des formules inverses (2), et je vais brièvement indiquer les résultats.

Les équations (2) représentent des courbes très variées, qui peuvent avoir des points doubles ou être formées de plusieurs parties distinctes. Ces cas doivent être écartés ici : pour ce but, il faut supposer le discriminant 97 — 25 9° négatif, c’est-à-dire les périodes 2 K° et K+:K', Ket K'étantréels et positifs. En outre, l’argument pv, qui, en général, peut sans restriction être choisi entre K° et 2 K’, doit

être moindre que 2K. En posant

ave K’ Le T(o—K') MCE fe té K ,

on exprime la condition de fermeture en fonction d’un nombre positif

et entier 7 par l'égalité

[ = h (3) Tr

a L se EN ARE - 2 | 2 (; + ( ra)

gite HER

Comme À et q sont positifs et moindres que l'unité, le second membre est moindre que l'unité. Donc; s’il y a déformation, le

nombre n est au moins égal à 2, comme l’a trouvé M. Maurice Lévy. Le périmètre S est donné ainsi :

(4) À (=) uen

A 2 3 sl (ae) + SE (ue) + 1—qg? \h? / 1+ gs \ A3 | De là se déduit aisément un minimum pour AS3. Soit Ne eg?

on a s S\3: PERCEES I I

A [— D —— + ans | — — — }.

Or, le second membre décroît constamment pour n' croissant à partir de l’unité. Comme n’ est compris entre 1'et n, la plus petite valeur qu’on puisse supposer au second membre correspond à l’hypo-

La supposition n — 2 donne le nombre 3 pour le minimum absolu.

thèse n — n. Donc

D’après l'expression de À, donnée plus haut, si lon fait S — 27R, on à

: : à . pR3 Donc toute déformation est impossible st l’on a pris Le 5:

C’est le résultat que M. Maurice Lévy a annoncé comme probable.

La limite (n?— 1) ne peut être atteinte que si g est nul : les foncons elliptiques disparaissent et la déformation est nulle. C’est ce qui se vérifie dans les formules ci-après (!), où l’on trouvera, sous forme explicitement réelle, les éléments de la courbe. La variable w a été

: Kzr : ; ) remplacée par > et æ est compris entre zéro et Tr. La courbe a pour

axes de symétrie les rayons aboutissant aux sommets d’un polygone régulier de 2 n côtés; les formules donnent la portion de courbe

(1) Les exposants de Te de Z dans la formule (6) ont été rectifiés conformément

k° h à une indication donnée ultérieurement par l’auteur [Sur une courbe élastique, Journal de l'École Polytechnique, LIV* cahier, 1884, p. 198, note (!).] [Œuvres d'Halphen, t. IV, p. 144.] [Note des éditeurs.]

RP LE STORE NT EE ON ee RE Le. PORN A) AT 17 NE SRE Sy ” NX 22 de LS Pa A + . 2 7 ,

r * r \ T LA L x 4 répondant aux angles polaires de zéro à —r Ce qui suffit à cause de la

3 symétrie | 4 :

+ NE CET LS 7 ne $ = cam IE (—1) +19 mn h3 Sin ??2.