II. — Drscussronz

Tout d’abord, plusieurs remarques qui s'appliquent à tous les cas.

L’argument », d’après,les formules (6), est déterminé complètement à des multiples près des périodes. De ce que g», 23, pv, pe sont réels, 1l ne résulte pas que l’une des déterminations de # soit nécessairement réelle. Mais, d’après les formules d’addition, l’une des valeurs de » est réelle à une demi-période près; en d’autres termes, si elle n’est pas réelle, sa partie imaginaire est une demi-période. On verra tout à l'heure comment les deux cas se distinguent.

2° D’après les formules (2), les deux quantités pv —pu et pe — pu ++) ont leur produit et leur somme réels. Elles sont donc ou réelles ou imaginaires conjuguées. D’après (8), le carré de leur différence a le même signe que as. Donc, st à, est positif, pu et, d’après (1), p'u sont réels; st a; est négatif, pu et p(u++v) sont imaginaires CONJUgUÉS.

3° En désignant par w une demi-période quelconque, y compris

à ; : I SU zéro, on obtient les racines de X en prenant u = — +. Soit

Do — + Ye une telle racine, on a, d’après (2), pe—ayope=2|pe—p(: o+uw)| x

Yi—3pr =2pP (Se+o)—2pe

A . À I \ s La première de ces relations montre que si p (: ho) est réelle, je. 2

Yo est réelle, et, par suite, aussi la racine x. La seconde relation . prouve la réciproque.

4° D'après (5), le discriminant 9° — 292% des fonctions elliptiques a le même signe que le discriminant D —S*—2;T? du polynôme X.

Je passe maintenant à la discussion ee divers cas, et je suppose

d'abord D < 0. Désignant par w, et — deux quantités réelles et positives, on a (Formeln, etc., p. 64), pour les demi-périodes, les expressions | | uw) 10 “e 2 St = —, = U): (0) Da — — WU" 1 2 a 2 2 9 2; 3 5 DE > 9

Ets ET EL ES ET AT PE nr TES ANSE RER De Ma 7 RE MR HS -2E 7 Fr S ES TEERC Ur "4

Les demi-périodes purement imaginaires sont comprises dans la forme mw,, où mn est entier. Cette forme coïncide avec mwy—2mu,; elle est donc réelle si l’on néglige la période 2 mw,. Donc e est réel, à des multiples des périodes près. Si a, est positif, d’après la deuxième remarque, et suivant le même raisonnement, w est également réel.

Si &o est négatif, pu et p(u + e) devant être imaginaires conjur (4 Q , r gués, « prend la forme u = — = ts, sétant réel.

Le cas D <o, que je viens d'examiner, est, comme on sait, celui où X a deux racines réelles et deux imaginaires, Les deux racines réelles correspondent à