DIT

Le / 2 et RE Do = —— +0; 2 u 2

5 PR w Je prends maintenant le cas D > 0. Désignant par w, et Fe deux

- quantités réelles et positives, on a (Formeln …, p. 61) pour les | - demi-périodes les expressions w,, ©, + w3, wa.

Ë D’après la première remarque, si 6 est réel, les quatre quantités À p

Ï z SH :

P a p=+- «) sont réelles, et (troisième remarque) les quatre racines

de X sont réelles. Réciproquement, si les quatre racines de X sont

was da à aus rit j: Re

4 2 7 I : 2” I , réelles, les quantités p (: ep + u) sont réelles; donc sv + est réel

à une demi-période près; donc e est réel (à une période près). En

Le d'u hs Li, à

appliquant le théorème de Sturm au polynôme (4), on trouve aisément sous cette forme les conditions pour la réalité des racines

(9) . prp>o, 2g2p0+38g:>0.

Les quantités pe, g: et g, étant données par les formules (5), (6), et satisfaisant aux inégalités (9), les racines de X sont réelles, et l'argument v est réel aussi.

Dans le cas contraire, les racines de X sont imaginaires, et l'argument 6 a la forme v5+ 03, ©5 étant réel. |

Si &, est positif, que e soit réel ou non, w peut parcourir deux séries de valeurs distinctes : 1° des valeurs réelles, 2° des valeurs de

la forme w3+ 3, 3 étant réel. | |

Si & est négatif, # ne peut être que réel, et w parcourt les deux

séries de valeurs suivantes : 1° u = — - Hiz;au—— = —- © —+i3, z étant réel. -

Pour chacun des divers cas que l’on vient d'envisager, on trouve dans les feuilles de M. Weierstrass l’expression des fonctions & par des fonctions S explicitement réelles. Le problème de l’inversion en quantités réelles est donc effectivement résolu par le procédé que je viens d'exposer. On en pourra d’ailleurs mieux juger par l'application qui fait l’objet du mémoire suivant.

IT. — rune pe L’ÉQUATION plu — pp POUR UN ARGUMENT P RÉEL.

J'ajoute ici, à propos de cette équation, quelques détails, dont la connaissance sera utilisée dans le mémoire qui va suivre.

pe=6(pe}— 2 84

Soient ?, et , deux racines de p'#, en sorte que

Considérons, en même temps, deux autres arguments ?’, v”

/ 82 Ci p=+(/; pri =— LS

Ces arguments donnent lieu aux relations

(Pro)? = p'(v1) = — a N/ + 2 89 (pi) = (pe) =+ & = RS

Ayant choisi #, et #,, nous pouvons achever la détermination de #, et s,, à des périodes près, en faisant ;

PRIRENT LT RMET P Pi P Po; P Po = P 1:

La formule de duplication pour la’fonction p (Formeln, p. 14) donne .

PC290) = PP, p(281) = po.

D'autre part, la formule (1), si l’on y fait u —— 2, donne

pe+p'(2v) s'(26) a tri d GUIÉRMED 6 PS mr dE er er Gil — > log rot pr—p(sve) o'(29)

(0) QAR RU ECO NP Env

Par conséquent, pv et pe, étant nuls, P(290)=—p V1 P(21)=—p96:

Donc enfin, à des périodes près,

ph =—200, Ph = — 201.

En supposant les invariants 9, et $, réels, examinons dans quels cas #, et #, sont réels. Désignons par 25 la période réelle. Quand + varie de zéro à &, pe varie de —- © à zéro d'une manière continue. Dans cet intervalle, les racines de sa dérivée pe sont donc en nombre pair. D'ailleurs, si #5, ?, sont réels, on peut les prendre dans ce même intervalle. Donc ?, et v, sont tous deux réels ou tous deux imaginaires. Comme pr, est négatif, la réalité de 64 et #, ne peut avoir lieu que dans un seul cas, celui où la fonction pv acquiert des valeurs négatives pour des valeurs réelles de v. Ce cas unique est caractérisé par un discriminant négatif, et, de plus, g, négatif. En outre, g doit être positif, sans quoi Ppfo, P#, seraient imaginaires.

Dans ce cas, D<0, 9: > 0, g3<0, v, et », sont effectivement réels. Nous avons d’ailleurs o <'P9<< 9, 9, et, en même temps, 0 pv, Lw2. Par conséquent,

Ph = 209 — 2 V9 L Wa, d’où Vo > 502

S1 l’on substitue v, et v, dans la fonction

s(39 3 I Va(v) = Se) NP Rs PER RS ESP 82)

on trouve

3 /8&,; ee Le datvo)= 7 (po): ptn)= 4/Eper

Par conséquent, ; 2 Po < 3 2 < P1-

Dans les autres cas, ©, et vi sont imaginaires. Si le discriminant est négatif, p ?, et p'e?, sont imaginaires, et #,, #, le sont aussi. Mais,

dans le cas du discriminant posiuf, p'e, est imaginaire encore, tandis que pr, est réel. Donc », a pour partie imaginaire F demipériode w,; et v, à des déterminations réelles. Pour préciser ce cas, posons ©, — #1 + w3, et prenons p ©, positif. Désignant par e,, €, e3

les trois racines de ÂE— gre — 3; on a (lormeln, p. 23) (e3— e;)(e3—e P #1 = E3 + (€3— €1)(e3— €) (> e >es), Pri— 3 ( Fo MT ECS ei) César, HR (pri — es)? et

De cette dernière résulte que p'æ, ést négatif. Par ce choix, w, est ainsi entre zéro et w4. D’après (10), p'(29,) est négatif, donc aussi p(2w,). Donc 2w, est moindre que w,. Donc enfin, dans le cas du ASC positif, pe admet une racire w,+w3, dans

laquelle D = = oi.

Il est aisé RE tr de reconnaître, pour tous les cas, la nature des racines w qu ‘admet l’ équation pu—po