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quand la constante + est réelle. Pour l’inconnue pu, l'équation se transforme en cette autre

(12) PALERME CPE TEE 0

d’où résulte d’abord que l'équation (11) n'a que deux racines, à des périodes près. Pour pu, la condition de réalité est (pe)? < 3 82.

Examinons d’abord les cas où cette inégalité est satisfaite.

°D<o,9:>0, g3<0; 0,< 6 < 9. Deux racmes réelles, comprises entre v’ et #,. Ces deuxracines FR dote, égales et Len avec ?; OU avec ne e devient'égal à », ou à v, respectivement. De même, pour 263— 9, 6 <2w,— 9, les deux racines sont réelles et comprises dans le même intervalle que v. Leur somme est égale à — », sauf une période.

2° D>o. L'inégahité (pe)? < 82 est satisfaite si 6 est compris

entre 24, et 26, — 2#,. Les deux racines & sont de la forme w + w3, u! étant réel.

Dans tout autre cas, pu est imaginaire. Je vais trouver alors la partie réelle des racines. À cet effet, je considère la fonction y, définie par la formule (1), et jy mets u — — is, 2 variable réelle

comprise entre zéro et w’,2iw étant la période purement imaginaire, qui est désignée par 2w, pour Do, par 2w, pour Do. Les valeurs extrêmes de y sont

JA TES "( cent Cr P 2 és P NE PRl RE ) ; TI CITE RE UT Se p(S+iw)-pe D (2 +in') 2 2 La constante v est comprise entre zéro et 25 (s — w, pour D < 0;

D =] pour D > o).

Soit d’abord D < o. La demi-période :5 = w, peut être remplacée par la demi-période réelle w, dans l'expression de y,.

S1 les deux inégalités 2: > 0, g3<0 ne sont pas satisfaites, la fonction p” est toujours positive pour un argument réel. Les numérateurs de y, et y, sont donc tous deux positifs; les dénominateurs sont de signes contraires. Donc y, > 0, y,< 0. Donc y est nulle pour une valeur intermédiaire de %z; les racines de (11) ont la

0 à : + forme — = +43, 5 étant réel.

DID 01 1<0 0/MAlO0rS: p = est négatif quand 0, < HA

2 : È cl (9 positif dans le cas contraire. Comme +, dépasse 5 Da > + w2, dans le

” 7 d “ £ premier cas, dépasse ; V2 et se trouve au delà de l’intervalle (2623 — v;,

2W6»>—+%,). Donc p (£ + ws) est alors positif. En ce cas, on a

donc Yo< 0, y, << 0. C’est précisément un des cas où l’ équation (1 1) a ses racines réelles; car on a 269<C 9 <C 26,, ou, ce qui est la même chose, 262— 9, << 0 269 — 9.

c ; (2 (4 En second lieu, si l’on a 2 &62 — p, < TH We 202 —V0; P'( +u:)

= AA + : I 1 Ÿ War est négatif ; 5 est moindre que = w», et Dar est positif. On a doncy, > 0,

Ya > 0. C’est justement l’autre cas où l’équation (11) à ses racines réelles pv eme ps Ces deux cas exceptés, on a toujours y, > 0, yi< 0, et les racines

de (11) ont la forme — = + is.

Soit maintenant D > o. Supposons d’abord o < e < w,, et faisons croître à partur de zéro. La fonction y, est d’abord négative; sa

p’ LAS x 3

2 à (2 P Sons

montre quelle change de signe quand £ franchit w,. Donc y, est

seconde forme