NOTICE SUR LA VIE ET LES TRAVAUX DE G.-H. HALPHEN. IX

4° travaux sur la théorie des invariants différentiels; applications de cette théorie à diverses questions géométriques et principalement à l'étude des équations différentielles linéaires:

o° travaux sur les fonctions elliptiques.

Le mémoire Sur les points singuliers des courbes algébriques planes fut présenté à l'Académie des Sciences dans la séance du 20 avril 1854, et un extrait figure dans les Comptes rendus de cette séance (!). Dans la séance du 11 janvier de l’année suivante, une commission, composée de MM. Bertrand, Bonnet, de la Gournerie, formula son jugement à peu près dans ces termes : la méthode employée par M. Halphen dans son mémoire consiste à développer l'équation de la courbe ou de ses dérivées ( polaire, hessienne, etc.), en conservant seulement les termes qui peuvent avoir de l'influence sur la question étudiée. Le théorème sur la somme des ordres des segments donne alors, dans bien des tas, une solution immédiate. Sous le rapport analytique, les principales difficultés que l’auteur a dû résoudre consistent à reconnaitre les ordres de grandeur des différents termes d’un développement dans les diverses hypothèses qui peuvent être faites, à classer méthodiquement les résultats et à les exprimer par des formules spéciales : dans ces délicates recherches, disent les commissaires, M. Halphen a montré beaucoup de sagacité. Le mémoire, d’après la délibération de l’Académie, a été publié dans les Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences (L-XXVI,-n° 2, 18509) (2).

Deux autres mémoires importants d’Halphen sur le même sujet se trouvent dans le Journal de Mathématiques (3° série, t. I, 18706); ils sont intitulés : Su une série de courbes analogues aux développées, et Sur la recherche des points d’une courbe algébrique plane qui satisfont à une condition exprimée par une équation différentielle algébrique et sur les questions analogues dans l’espace (5\.

Un dernier travail qui se relie étroitement au précédent est le beau mémoire publié dans Le XV® volume des Mathematische Annalen, sousle titre: Recherches sur les courbes planes du troisième degré(").

[Zbid., t. I, p. 420-542. ]

Abe Es Ti p2:6:-311 | ) Y Mbid.,t IT, p. 319-344]