UE OPEN

ne contient pas d’inffexion.

D. Si 6 est supérieur à 2w,—+, cette courbe contient une inflexion.

« f L) he E. La courbe correspondant à u——;+is ne contient pas

d’inflexion.

9. Pour connaître le sens de la convexité sur un rayon vecteur

En À a : : : de minimum, il suffit de considérer, à la fois, les signes de © et de 7 AU s

SUR UNE COURBE ÉLASTIQUE. 137 oint correspondant. où plus simplement le signe du- produit ME P DAMES de [ 5 Ê Ts

Sur un rayon Maximum la concavité est nécessairement tournée vers l’origine. Donc, sur un rayon minimum, la concavité est tournée

Les s : ad à Re Ag ta ge : n T vers l’origine ou bien du côté opposé suivant que PT à, SUI le rayon

minimum et sur le rayon maximum, deux signes pareils ou opposés.

Le signe de o est connu d’après l’étude faite dans la note. En désignant par 9, et p, les valeurs de o pour 3=0 et :—=5%w, nous avons, en correspondance avec les cas distingués au n° 8 :

Po > 0, Pi 0, Po LO, P1 > 0, Po >.0, Pi > 0, Po > 0, pr <O, Po 0, Pi <O.

saoavr

; : A0 - : ; Quant au signe de es il est le même que celui de la fonction Y F=plu+e)+pu—ope.

: a POULE — 5'ona

I EF p =Ho=pe pr

et il est visible que F, est positive ou négative suivant que v est inférieur ou supérieur aux deux tiers de la période réelle. Le signe de F, est immédiatement visible, et, en résumé, on obtient les résultats suivants :

1° DiISCRIMINANT NÉGATIF :

ce | <<0, note

Il est à remarquer que uw: se trouve compris dans l'intervalle s J

caractérisant le cas À, comme je l'ai établi dans la note,

2% DiscRIMINANT POSITIF :

PE RSR AS. (S a) CNÉPES Le He (Z 2 PRE

eo À dû dû 9: RTE Ho u—--- +iz; T.) LOS (2)

oi] ds / ; ds }, A

$ dû ve = Dans les cas À et B, (5) et p, sont positifs et correspondent à | Te …

un sommet de rayon maximum. Donc le rayon de courbure est compté positivement du côté.de la concavité. Donc, pour les cas où le discriminant est négatif, la pression est du côté de la convexité aux sommets de rayons maxima. ù

ds pour les cas où le discriminant est positif, et pour la courbe qui

k : : d6\ Dans les cas C, D, les mêmes faits ont lieu pour () et 0,. Donc, ; 0 :

, : [2 . . nr répond à u = — à + w,+ 13, la pression est du côté de la convexité aux sommels de rayons maxima.

d r . \ Dans le cas E, (5) et o, sont négatifs et correspondent à un

sommet de rayon maximum. Le rayon de courbure est compté négativement du côté de la concavité. Donc, pour le cas où le dis-

AR se he. : D x criminant est positif, et pour la courbe qui répond à u = — - +1iz positif, et p quirép > + Us,

la pression est du côté de la concavité aux sommets de rayons

maxima. |

10. L’attention est appelée ici sur le cas singulier où la constante ©

est égale à20; les équations (5) montrent que, pour ce cas, r, est

ds car la constante C est nulle.. Les sommets, répondant aux rayons

dû : : RES ë nul et que (5) n’est pasinfini. Ceci résulte aussi de la formule (3);

vecteurs minima, sont réunis à l’origine des coordonnées.

11. Un autre cas mérite encore de fixer un instant l'attention, c’est celui où # est égal à la demi-période réelle. Comme p'v est alors nul, il convient de prendre v infiniment voisin de w, pour réduire les formules à leurs limites. Pour obtenir une courbe dont les dimensions soient finies, on prendra & infiniment grand, de telle sorte que 4p'v

ait une limite finie. La constante À est alors nulle, d’après (6), et nous retrouvons la courbe élastique, ‘déjà connue, qui répond à l’hypothèse qu'aucune force n’agisse sur la verge ailleurs qu'aux extrémités. Dans cette courbe, la courbure est, en chaque point, égale à une fonction linéaire de l’abscisse de ce point. En prenant cette propriété pour définition, on parvient facilement aux équations. Mais ici il ne sera pas dénué d'intérêt de retrouver ces équations comme des limites vers lesquelles convergent les équations de la courbe élastique plus générale. C’est ce que je ferai en détail plus loin, me bornant pour le moment aux observations suivantes : 1° 0 est infiniment petit; 2° r est infiniment grand et sa partie principale est indépendante de uw, comme le montre la première relation (5) don-

nant © DE pour cette partie principale. On SR par là que le (

centre des forces élastiques est à Pinfini. La limite de 76 est l’'ordonnée, et celle de (r — 7) est l’abscisse. La première équation (5) donne, conjointement avec l'expression

de6; (n° 8);

Cette formule limite met en évidence que la courbure est une fonction linéaire de l’abscisse (7 — 75).

12. Outre les formules ci-dessus, donnant explicitement, en fonction de la variable w, le rayon vecteur, l’arc, l'angle polaire, le rayon de courbure en un point quelconque de la courbe, on peut en composer plusieurs qui expriment de même quelques autres éléments, et qui sont utiles pour les applications. Par exemple,

(cos À + £sinÀ) = a(pu —pr),

r(cosÀ—rsinÀ)=a[p(u+vr)—prel]. S1 donc on a mis pu — pr sous la forme

pu—pre=P+iQ, on aura

lO

r=3Y/P:+ 07, tangÀ —

En outre, si S désigne l’aire de la courbe, on a dS —

r? d® et il

140 OEUVRES DE G.-ll. HALPHEN.

en résulte

= Rap GAL

formule qui donnera aisément S par l'intégration de P. L’angle À sera donné encore de la manière suivante :

ds du PNR D AT 47) e IIT, — FoRMULES ET DISCUSSION POUR LE CAS

D’ UN DISCRIMINANT NÉGATIF.

13. Je vais maintenant examiner de plus près les formules qui déterminent la courbe élastique, et exprimer les éléments au moyen des fonctions 3. I y a deux manières de transformer & en 3. Je choisis ici celle qui me paraît appropriée le mieux au sujet.

La fonction s(æ) s'exprime toujours sous la forme ae°"*S,(cæ), dans laquelle a, b, c sont des constantes. Si l’on fait cette substitution dans la formule (8), on voit que a et b disparaissent; on devra simplement mettre 3, (cw), 3 (cæ) au lieu de S(æ), 5'(w), et multiplier le second membre par c. |

Au lieu de la variable 3, j'en prends une autre s' en faisant {3 — 20,2/, par conséquent

ne

La variable z' est réelle. La constante c, dans les formules que j’ap- , I :

plique (Formeln, p. 66), est — Te Par suite, dans la formule (8),

la constante © disparaît; il y a à faire un simple changement de

: : do Ô dÔ signe, si l’on met a AU lieu de J

+ En désignant par Q la quantité

réelle et positive

AE Q — Tee) 20; on a, pour la période + de 3,, I :

La formule (8) devient celle-ci, où j'écris pour abréger

Pau J,(w) GER

dû I 1QP 1Q 0 1Q 0 ECRIRE EN ! ne ET to Qu dz’ | if ( W9 }+/ (z 2 =) : (: ee)

(12) az [sr () air],

et, pour la mieux préciser, J'en donne un développement. Je vais employer ici, et dans toute la suite, les développements en séries trigonométriques. J’ai d’abord

SE SEATE S'(w) A ei Em ni FU) ee Ta re)

d’où, à cause de légalité (10),

(12 bts) (RE) +2 2 [ete

Oo DE

Le développement en série trigonométrique est le suivant, du ét

Im — © ET 2 > ns KA À LEO 2 (W Fr HS T3

Il est valable quand, dans la partie imaginaire de w, le coefficient de £ est moindre que Q en valeur absolue. Je poserai, pour abréger Pécriture,

ue 2H Q(v—w;,) d

(13) D Cr RE Te Fe

Ces deux quantités q, h, réelles et moindres que l'unité, remplaceront maintenant les autres constantes. Par leur moyen, on obtient

VORE LEaR DT | FES q? nr (14) = (- PE Fi R)+,..