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JET Le Ê l Ps rue __p}ntihn |2 RES 12 SE ray at > PA AN ES STE PIN ARE 1) À PEN ni I qgh NV (— p)72+1 m(/h" — q"}? :

D (hA—g} md hn[i+(—itign]?

on a facilement I mz!\?

95. Je vais maintenant étudier les diverses formes que peut affecter la courbe. L'élément le plus essentiel de cette discussion est le signe

du nombre ui En tenant compte de l'égalité

a b à rQ du.

pp=—2 +2() 1h!

et observant que pe est constamment croissant quand 6 varie de w2 à

. d A , A Ÿ 2W?, On VOIt que — croît constamment quand À décroît depuis 1 A

jusqu’à g. D’après (15), finit par être infiniment grand et négatif.

Donc, si, pour À infiniment voisin de l’unité, à est négatif, u reste toujours négatif et sa valeur absolue croît constamment. Si, au contraire, 1 est d’abord positif, 4 commence par croître, atteint un maximum, décroît et devient enfin négatif. La distinction de ces

deux cas est fournie par le signe de la limite de : à x pour h infini-

ment voisin de l’unité. Le premier cas se présente si l'on a

20e HT I es an A Et 1== 7 CT ol le second, au contraire, si l’on a PNR 3 q3 SR D er 119 I-— q°? 42 o)

Le passage d’un des cas à l’autre n’a lieu que pour une seule valeur de g. On en fait le calcul plus rapidement en observant que, d’après (12) et (12 bis), la distinction des deux cas se réduit à celle qui affecte la quantité 3, (0). La valeur de 4 est done fournie par l'équation

nin+îi) 1—9g —25q3+ 49q+ 81q0+...+(on+i)(—g) ? : +...=0o.

Elle est voisine de -, et son calcul avec six décimales exactes, qui

n’exige que les quatre premiers termes, fournit le résultat suivant :

26. Dans la discussion, je considérerai g comme donné, et j'examinerai les diverses formes pour les valeurs de À décroissant depuis r jusqu’à g. La constante À est une donnée, d’où dépend seulement la grandeur absolue de la courbe; les proportions relatives ne dépendent que de g et À.

Le cas limite que j'envisage d’abord, et qui répond à k — 1, offre des particularités dont la formule (24) est la source. Si l’on suppose À infiniment petit avec 1 — X, la courbe dégénère en l'élastique ordinaire; comme je l’ai déjà observé (n° 11). J’examinerai cette hypothèse plus loin. Mais, pour le moment, afin de laisser le centre des forces élastiques à distance finie, je vais prendre A infiniment grand du second ordre, en supposant 1 — h — « infiniment petit du premier ordre. Alors l'arc s,, compris entre deux sommets consécutifs, est infiniment petit du premuer ordre; As? et r ont des valeurs finies;

u est infiniment petit. Les rayons de courbure sont infiniment petits et les deux extrêmes, d’après (25), sont donnés ainsi

NL —oo m+ > J 8T Reste nnoss ù en 0 2/1 + ? 1 RE ae) m = 0

Le signe + convient à o,, le signe — à 04.

La forme limite, ainsi définie, ne saurait être représentée par aucune figure; l'arc s, est, en même temps, infiniment petit et infiniment courbé. Mais on peut imaginer cet arc comme la limite d’une figure, susceptible de deux formes très différentes, suivant le signe

de pe.

1° 4 >0,107093... — Dans ce cas, u est négatif. Soient o4, ob deux rayons minimum et maximum consécutifs, répondant le pre-

: 3 1 x Ans MIEE à,3/—.0, Je second à7/— 53 ce dernier faisant avec oa un angle infiniment petit et négatif, Tr. La courbe présente (n° 9) en a sa

E Lé d » L Q dô ° .

convexité, en b sa concavité vers l’origine ; et est positif en a et b.

La forme de l'arc s, est donc celle d’un S retourné, si le sens des angles positifs est inverse du sens adopté pour les aiguilles d’une montre. La courbe entière offre un point double sur le rayon vecteur de chaque sommet. Cette forme est indiquée par la figure 1 ().

Dans cette figure, comme dans toutes les autres, j'ai marqué par une grande flèche le sens de la pression en un point; j'ai tracé en

‘ De : I plein l’arc ab limité aux points a et b donnés par 3'—0 et 3 — >. En supposant une verge limitée à ces points, et tenue en équilibre par des forces appliquées aux extrémités, j'ai tracé des flèches en a et b; le sens de ces flèches indique la direction de la force élastique exercée par la verge en ces deux extrémités. Cette force est perpendiculaire au rayon vecteur, par conséquent, en les sommets, tangente

à la courbe; elle a pour mesure pr. Je renvoie le lecteur, pour la démonstration, au mémoire de M. Maurice Lévy (p. 8).

2° qg<<0,107653... — Dans ce cas, u est positif; les signes

A dû A 7 , È Si extrêmes de 77; Sont les mêmes que précédemment, comme aussi le S

(:) [Pour les figures, voir la planche placée à la fin du mémoire, p. 192.]

sens de la convexité. La courbe entière présente l'aspect d’une roue.

dentée. Cette forme est indiquée par la figure 3.

97. Examinant maintenant la suite des valeurs de X, je vais obtenir les diverses formes en suivant les modifications des figures 1 et 3.

Si nous nous reportons aux résultats généraux du n° 9, nous voyons qu'aucune modification essentielle n’est apportée à la forme de la courbe tant que, 4 conservant un même signe, on ne passe pas du

cas B au cas À, et qu’en outre # ne franchit pas la limite +w,, c’est-

à-dire À la limite Va.

Le passage du cas B au cas À n’a lieu que si g2 est positif et g3 négatif, c'est-à-dire (Note, $ LE, à la fin, p. 129) si g<C0,00/426.... En outre, nous venons de reconnaître que, si l’on à g > 0,107695..., u reste toujours négatif. Donc au cas g> 0,107653..., la forme AGE cédente, indiquée par la figure 1, se conserve ue pour À > aq. Les proporüons, bien entendu, s’y altèrent, d’une part l’angle aob grandit constamment, d'autre part le rayon maximum oa diminue relativement à ob.

Quand atteint q, le sommet & vient en 0, mais-sans qu'il y ait aucun changement brusque dans la forme générale.

Quand À devient moindre que Va, L angle aob passe brusquement de‘ur à —(1—u)r (n° 17). Mais la forme de la courbe ne change pas brusquement. En &, la concavité est alors tournée vers le point o. On voit donc que le point a, se déplaçant sur l'axe polaire, à franchi le point o, qui est maintenant enveloppé par la boucle dont a est le sommet. C est ce que traduit la figure 2.

La forme 2 se conserve Rite quand 2 continue à | décrofire. Toutefois, la valeur absolue de w croissant à linfini, l'angle aob dépasse bientôt 27, 4T, ..., et la boucle dont & est le sommet exécute une, deux, etc. circonvolutions autour de l’origine. On suppléera facilement aux figures que je n’ai pas tracées pour ces modifications.

28. Je suppose maintenant g << 0,107653.... H est essentiel de distinguer tout d’abord deux cas, suivant que u, d’abord positif, devient négatif avant ou après que À ait atteint Va. L'égalité (14), où l’on fera g — h* et u <[o, permet de trouver la limite de 4 qui distingue ces deux cas. Si l’on veut la calculer avec précision et plus rapidement, on prendra le développement de 3° en série entière. La

Qt ©

limite de q sera alors donnée par l'équation suivante : ( 2 ESA 7 FT KT T 2 ra % n(n+1) " nBn+1 in+1l(®r42)\

+(—1) À ele se Sr L Pie 20,

Comme il n’y a ici aucune importance à connaître cette limite avec précision, je me suis contenté de la calculer au moyen des trois premiers termes, qui donnent qg — 03091. ...:91 donc. On 4 g > 0,091; u devient négatif pour 4 > \/4 ; au contraire, si l’on a g <0,0g91..., u est encore positif quand X atteint la limite (/g.

Dans le premier cas, 0,091 << 9 <0,107653, la courbe conserve d’abord la forme indiquée par la figure 3, l’angle aob croissant d’abord, puis décroissant, puis devenant nul. La courbe est alors représentée par la figure 4; et, pour la suite des autres valeurs de k,

on retrouve successivement les figures réto:

29. Soit maintenant 0,00426...<q<o,og1.... En ce cas, le L 1 . 7 . . L . “ e point a franchit l’origine quand y» est encore positif; de 1à vient la forme indiquée par la figure 5. Quand y devient nul, la courbe se ferme en un 8, comme précédemment, mais l’origine est intérieure à ce 8, comme l'indique la figure 6. La suite des valeurs décroissantes ) I S

de amène les formes que rappelle la figure 2,

30. Soit enfin g<<0,00426.... C’est alors que se présente le cas À (n° 8), où disparaissent les points d’inflexion. Cette disparition a lieu quand 6 est compris entre les deux arguments 26,— 9° et 269— #,, considérés dans la note (SIT, p. 126), et qui comprennent entre eux : ws. Cette dernière circonstance prouve que le passage du point a par l’origine a lieu pour une courbe dépourvue d’inflexions. Comme g est très petit, on se fait une idée suffisante des valeurs de À répondant aux deux arguments ci-dessus en supposant ÿ infiniment peut. Ces deux arguments sont déterminés par les équations

po—+(/e. Or on a d

où x: est la quantité considérée plus haut (n° 24). D'autre part,

D TN? I Er LES qu NES LE Le A AN Ent DR LA 12 œmd | + (—:; JC gi

Au moyen de ces expressions, on trouve, pour les deux valeurs:

de h, h=i—84/2 +. PEN EN TE ie thin

Tant que h est compris entre 1 et L,, la forme 3 se conserve, le point d’inflexion se rapprochant toujours de a. Quand h— ;, la courbe ne présente plus d’inflexion; elle a, en a, un contact du troisième ordre avec sa tangente. Puis cette particularité disparaît, la courbe devient partout convexe ( fig. 5); a se rapproche de l’origine,

. NES É / l’atteint pour k — V/g, et la dépasse (/ig. 8). Au moment du passage, l'angle aob est supérieur à 23 il est d'autant plus grand que 4 est

plus petit, et environ 0,727 pour g—0,00426.... L'inflexion reparaît quand X atteint h,; l’angle aob (fig. 8) est alors environ

———; et x est encore positif. Ce nombre na décroissant ensuite, 3 +23 on retrouve la figure 5, puis les figures 6 et 2.

C’est dans cette dernière catégorie que se rangent les formes relatives aux déformations infiniment petites. Si g est infiniment petit et À fini, différent de 1, la courbe est dans le cas de la figure 5. Les formules montrent que r et p ont des limites constantes et égales entre elles; 4 est, comme s, proportionnel à z'; la courbe a pour limite un cercle concentrique à l’origine.

31. Je résume cette discussion dans le tableau suivant. Les numéros des figures sont cités dans l’ordre où les formes correspondantes se présentent, L décroissant depuis 1 Jusqu'à g :

32. Je crois utile de réunir aussi en un tableau les diverses formules qui donnent les éléments de la courbe.

Au lieu du paramètre 23’, je prends t— 273. On aura une porion ab comprise entre deux sommets consécutifs, en faisant varier de zéro à 7. Si l’on change l'axe polaire en prenant, pour nouvel axe,

5 I le rayon vecteur correspondant à 3'— =, Sur chacune des formules

établies plus haut, Le résultat est le même que si l’on changeait V/gq en — (/g. Je fais ici ce changement, et il est entendu que dans les formules ci-après Vq est pris positivement si t=0 correspond à un rayon vecteur maximum, négativement si t—=0 correspond à un rayonvecleur MINIMUM. R

Les nombres h, q sont des données, o <q <1;,q <h<1.

Voici d’abord, en fonction de et q seulement, les autres constantes qui s’introduisent, représentées chacune par deux développements, préférable chacun suivant les grandeurs relatives de À et q. Dans les séries, figurées par È, m prend toutes les valeurs entières et positives, depuis 1 inclusivement.

1—h qe I RER teur Cr Hs j EE Dé TS \ (— 1)7#1 hr Te PR 2 RP q ar > rie PJPEEE GE | h2/7

: h Pique I Hi = ame De ren (ge +4 )

AR qh LN (— D)2+1 mhm (+ da),

(hi — q je PASSE PET (— 1 Cet DE h277 Sn DE TS a. re 1 hr Pi La (G+h)? Demers Le 1) É I gl (— 1)/2+1 m(hm Ce qi)?

F3 12 > (h — q }? hmli+(—nrtqm

Rh(1—h) à m?q'" 1 = ——— EE ac Den AC + (1+ A) É D + (—i)#+lgm > : )

h rh = pm 2 jp 2m SNgUCg RENE DS RUE ( q )

s tu (— jp 1 q"" re h2m

(A— qg}

pe + hr)

(i+ ht PAT + (— ir) ti qu hmn qgh(Agh px Het nE AM fe nor (k— q}! Lt + (—1)+iqm h2m

Voici, en second lieu, les fonctions de 4, het de l’entier m qui composent les coefficients des développements ci-après :

/2) LS CT) him \ h 1+(—1)"+iqm?

q Pr p-bre (— 1)" hi h ILE (= 1 )#+1 g * PET mn ) :

RE 4) pe (— 1)n+t hs Cr 7 / h3 Pas (— 1 AN ge re 7. h3 nl cl, LE Vq = Le ee (— 1)/2+1 ez ) .

L+(—1p2+ LR : vhs (9 PCR

Enfin À est une constante positive, inverse d’un volume; dont la orandeur sert à fixer les dimensions absolues de la courbe; son

dayn —

-nr 1 A = P 0 , expression mécanique est Er (n%1); L'arcs de la courbe est proportionnel au paramètre t, suivant

la formule S 3 2 À (5) ER TER À

Au lieu de À, on fera figurer une longueur /, en posant

L’arc compris entre deux sommets consécutifs est tL.

Angle polaire \ :

$ AE Ÿ g, = pr + > = (Am + Cm) Sin mt.

2 Re 0 — — (i— pu) + > ee Cam Code 20 de T I [ .

J h — V CE (] ms z — (£ 2 :) j + ja dayn sin 7716.

Rayon de courbure ot l Le = =uH+42a, cosmni, : +

) = 92m —3u +22mb,, cos mt.

Rayon vecteur r :

pÈ= (=) [(Qu+E2mb» cosmt + (San sinme}?] =i(E) (+). 2 De p

Angle À de la normale et du rayon vecteur :

Z2mam Sin mt

D 2 WU + Emb,, cos mt

D ri D: = By Sin mt (1).

Aire S de la courbe (aire d’un secteur limité par des rayons vecteurs) :

S.—= = — (tué HS D. sin mt).

2 Lo

33. En vue de certaines applications, je vais établir deux inégalités, qui ont lieu entre les deux constantes y et 1. S1 l’on suppose g infiniment petit et À fini, u et u» se réduisent 1—/h hRG=— h) et .

+ h GLRhy Je démontrerai que c’est là une limite inférieure de 4, quand y est positif.

respectivement à

On a ainsi p= cpu).

. : Ua ore . IR En second lieu, si g et À sont tous deux infiniment petits,

q & qh(gq+h) h — q (R — q}

et p, se réduisent à » et l’on a

1 3 Pa en pe Let De

Je démontrerai que c'est là une limite supérieure de uw, sous cette même hypothèse u > 0.

La première inégalité s'établit avec la plus grande facilité. En prenant les plus grandes expressions de met u,, on a

eine ET dm) er (pe — 4).

(— LEE q m \ him

Observant que la série, au second membre, a tous ses termes

, Sy = . A .

(:) De là résulte, dans le cas À = Vg, que À + 36 est proportionnel à l'arc. Ce résultat s'établit aisément par les formules (2), (3) et (4) du commencement, si

lon y suppose C = 0; comme cela a lieu pour À = Vg:.

ne : 1— À positifs, et faisant — y, on en conclut 1+h

RTE DT

Le : < S V— V3 A Le nombre positif y croissant jusqu'à 1, ———— croît constamment. ANS 4 D'ailleurs y est supérieur à uw; si donc on remplace dans l'inégalité y 17 Ï 5 par uv, et que u soit positif, l’inégalité a lieu a fortiori. Cette conclusion subsiste même si x, étant négatif, est supérieur à — 3: On a | Hi ARULE P donc, quand y. est positif (cas auquel je me borne),

da > AU HR? ).

34. La seconde inégalité se démontre plus difficilement. J’établira

d’abord que, 1: étant positif, à

seconde formule, qui donne y, rend ce fait évident quand est suffi-

samment petit. Pour préciser ce fait, faisons 7 — Z, et écrivons la

est toujours supérieur à 7 me La

h formule ainsi :

Fe HS Se (— LCA jm) 2 he 7 dd LUI) EtqR EE

(28) Envisageons la fonction fn) — hm [1 »e (— 1) q+1 | — Arn+i [1 EE (— 1)7-F1 gm], dont la dérivée est

Ph) = ht mie (qi) (me + DO (—omigm]|.

Cette dérivée est positive, quel que soit m, si À est moindre que EN RP IA ES LED Gr

Ds DAT toutes les quantités = :

- .-., dont la premièr Ka .3 BETTER ARE ) P ere

est la plus petite, si donc L est moindre que " (1— g). Geci supposé,

q.et:7 élant positiisset # >,7,«lRen résulte RUE a): Or cette inégalité exprime que les termes de la série (28), abstraction faite de leurs signes, décroissent constamment à partir du premier. Comme les signes sont alternés, le premier positif, la somme est

positive. Donc le premier membre de (28) est démontré positif sous s I l'hypothèse } < = (1—q).

> I x QE Je suppose maintenant PS = — 4), et recourant à la première

expression de u, je l’écris ainsi ECS A NE LGANTE q\m PV ET D Bu 1+ A > () EN (2) [1 ce | Posant q m ez 1— A2 AC q m h?m 1 (—1)#+lqm r= y (1) : rc | = > (1) 1+(—i)rtiqu, À

j'en conclus

(29) ET = Tr,

égalité qui peut aussi se tirer de la seconde expression de 4, en sépa-

rant dans la série les termes E(— 1)7#1 7e, en OT

EC nneiqgn? celle qui répond

Des diverses quantités am— à m—1 est la plus petite.

D'abord elle est la plus petite de celles qui répondent aux nombres impairs 7, Comme ayant un plus petit numérateur et un plus grand dénominateur.

Si 2? est moindre que g, les & d'indices pairs sont plus grands que 1, donc supérieurs à &,. Si h? est supérieur à q, les + d'indices pairs vont en croissant; mais æ, est moindre que «;. Donc encore œy TL Ame

De là je peux conclure

na FE ACER Pan A ES #) > (2) 1+g h—3g er hR =

minimum re — q), on a donc

La fonction décroît quand h croît. En prenant pour À son

qi+h) = (3 —q) 4 k— g 0.9

» pour À variant de g à 1, est

à } D'autre part, la fonction :

QE: 4e DEN AN minima aux valeurs extrêmes; elle est donc supérieure à ne Donc q L

CV rs

Sir Hein TT

g(i+h) JE 4) (g+i)h h—9g 5 1—39g SAS q + h?

Si l’on suppose maintenan 1 ObaUuTR

et, par conséquent,

la gg h?

SERRE EUR LI Eh R— qq +3 L’inégalité RÉ en résulte, en-vertu de la relation (29). Or la

supposition Free ne 1 entraîne celle-ci g << 3—2 2 — — 01690 Lorsque g ne pa pas cette limite, l’inégalité se trouve démontrée. La preuve est donc faite pour le cas où u est positif, puisque alors on

Je vais démontrer, en second lieu, que lon a

(h— g} RES

[— qgh(q+h) q

Les secondes expressions de x et , donnent

TER qh{g + #) ee q Ses Ÿ (— 1 1)2(m2— 1) hr à El | 2 (h— q} h— gq dd + (—1)2+ qe.

série dont les termes ont des signes alternés, le premier négatif. En reproduisant un raisonnement fait tout à l'heure, on prouve que 1 + ve

Er ie

cette sérre est négative si À est inférieur aux quantités F

À ETS re DSP ALES AE Te

Nous bornant à l'hypothèse 4 0, 105653, ..., 1l nous est permis

2 1—q* 3 1+ qÿ RAS de En ER

: I de conclure que la preuve est faite pour le cas k < £.

3 I à 3 Supposant ensuite h = 73 transformons la premiére expression

de po ainsi {

| 9 A(EF= 4) : g\" + (2 m | = hum ; Pa G+A) +2 (6 Dr ) = ee rit

Faisant la somme de la première série, utilisant une expression

AA I À Den analogue obtenue tout à l'heure pour ——— et introduisant la série

VS q mn 1 — A2 Ti (m1) (4) = ni Fe è Sn q m Jim pe (— Re M De (2) 1 (= r)ntign nous obtenons

L'be Ce gAtq 0h) TOR R(3+R)

RUE TETE (h— 9} FES PR sRens ATRRTAE LE

La série T, a tous ses termes positifs si L? => 9, et la preuve se trouve encore faite pour ce cas. Mais la limite, assignée à 9, n’excluant

PE: I - : É è pas la supposition n <h< Va, la démonstration n’est pas complète.

Pour l’achever, j'écris, en négligeant une partie positive de chacun des termes de T,,

ee D A le ee TS (Se) a . 5(%) us

; 2\2 I É : x et par suite T, > —53 L | __, si les termes décroissent en h 1— g?

valeur absolue.

aus