NOTICE SUR LA VIE ET LES TRAVAUX DE G.-H. HALPHEN. XI

Bien que l’on rencontre des traces de cet ordre de recherches dans un des mémoires déjà cités (!), on peut leur assigner pour origine la thèse qu'Halphen présenta en 1858 pour obtenir le grade de docteur en mathématiques et qui a pour titre : Sur les invariants différentiels (?). Les premiers mots de cette thèse, que je reproduis textuellement, montrent clairement le sujet, l’étendue et limportance de la théorie : « Parmi les équations différentielles qui s'offrent dans les applications usuelles de l’analyse à la géométrie plane, il en est qui se reproduisent sans altération quand on effectue sur les variables une substitution homographique quelconque : telles sont les équations différentielles, en coordonnées rectilignes, des lignes droites, des coniques, etc. Je nomme tinvariant différentiel le premier membre d’une telle équation. C’est la géométrie qui fournit ainsi les premiers exemples d’invariants différentiels; c’est à Palgèbre qu'il appartient d’en coordonner la théorie par la résolution de ce problème : former, sans en omettre aucun, les invariants différentels de chaque ordre. Résoudre cette question, tel est l’objet de celte thèse. » | |

Les propriétés des êtres mathématiques, figures ou formules analytiques, observe justement M. Jordan dans un rapport sur cette thèse et d’autres travaux connexes d'Halphen, sont de deux sortes : les unes sont individuelles, les autres sont communes à tous les êtres d’une même famille. L'étude systématique de ces dernières constitue la théorie des invariants : elle a renouvelé l'algèbre et la géométrie analytique, mais rien de semblable n’avait encore été fait pour le calcul différentiel et intégral.

Je me bornerai à mentionner la première publication qui a suivi la thèse et qui a pour titre : S'ur les invartants différentiels des courbes gauches (*); le concept des invariants différentiels y apparaît encore plus clairement que dans la thèse. Je veux nr'attacher particulièrement au mémoire Sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables (*), récompensé en 1880 par l’Académie des Sciences de l’Institut de France.

1) Journal de Mathématiques, 3° série, t. IL. [Œuvres d'Halphen, t. 1,p.47.] %) [Œuvres d’Halphen, t. IE, p. 197-253.]

3) Journal de l’École Polytechnique, XLVIT: cahier, 1880. [ Œuvres d'Halphen, I, p. 353-446. ]

#) [Œuvres d’Halphen, t. I, p. 1-260.]

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