XII BRIOSCHI

L'Académie avait mis au concours pour cette année la question suivante : « Perfectionner en quelque point la théorie des équations différentielles linéaires à une seule variable indépendante. » Ce sujet avait été donné à un moment singulièrement opportun; car, parmi les concurrents, M. Hermite en signale quatre dont les travaux témoignaient de la culture étendue et des facultés d'invention de leurs auteurs. Dans le très beau travail d'Halphen, ainsi que l'observe l'illustre géomètre que nous citons, l’auteur montre un talent mathématique de l’ordre le plus élevé; c’est là que se trouve introduite, dans des recherches de caleul intégral, la notion algébrique des invariants; par ces nouvelles combinaisons sont mis en lumière les éléments cachés dont dépend, sous ses différentes formes analytiques, l'intégration d’une équation différentielle donnée. L'idée d'étendre le concept d’invariant aux équations différentielles avait déjà été entrevue par d’autres; mais personne, avant Halphen, n'avait montré la fécondité de cette idée dans une étude systématique des équations différentielles.

Les conséquences de ces premières recherches ne s'arrêtent pas au mémoire couronné; car les deux intéressants mémoires Sur Les muliiplicateurs des équations différentielles linéaires, présentés à l’Académie en 1883 et 1884 (!), le mémoire Sur les invariants des équations différentielles linéaires du quatrième ordre, publié dans les Acta mathematica de Stockholm (2), et cet autre encore Sur une équation différentielle linéaire du troisième ordre, qui se it dans les Wathematische Annaten (*?), appartiennent au même ordre d'idées.

Il va encore plus loin dans cette voie féconde dans le mémoire inséré dans le Journal de Mathématiques de 1885 sous ce titre : Sur un problème concernant les équations différentielles linéaires (e et dont il définit ainsi le sujet : si entre les solutions d’une même équation différenuelle linéaire, solutions inconnues, existe une relation connue, quel profit pourrait-on en tirer pour l'intégration de

(*) Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, p. 1408, 154r,

) T. IL, 1883. [Œuvres d’Halphen, t. IN, p. 463-514.] *) T. XXIV, p. 461, 1884. [Œuvres d’Halphén, t. IV, p. 112-115.] ” ) [Œuvres d’Halphen, 1. IV, p. 193-260.]

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