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on a pour 7°? cette autre formule, applicable aux deux courbes,

Se D LT RC Spa À OC (Poe FAT 3 ]* A2 | s- MES. D #

47. I] existe aussi, comme au n° 24, une expression simple du carré de la courbure. La constante à se déduit ici de l’expression propre au cas du discriminant négauf, par le changement de g

en — g?. Posant

nm = @

Part gq\m 1+ A2m— 2 qm hm m=++ÿn(t) Rime

In: —=1

on trouvera

48. La discussion des deux courbes (a) et (b) est incomparablement plus simple que la discussion faite plus haut pour le cas du discriminant négatif. Cette simplicité provient de ce que le nombre est ici constamment positif. 3

1° Courbe a. — Quand est supérieur à Vg, le premier rayon minimum 3'= fait, avec le premier rayon maximum (z3'—0), l'angle négatif — ur, d’abord très petit quand L est très voisin de l’unité. Les rayons de courbure sont constamment négatifs, et d’abord positif, devient négatif. L’arc ab, dépourvu d’inflexion, est représenté par la figure 9. Quand atteint /g, le point a vient à l'origine o ; puis, À devenant moindre que Va, le sommet «& franchit le point o, qui devient intérieur à la boucle ( fig. 10). Dans la suite des valeurs décroissantes de À, x devient infiniment grand, et la boucle dont a est le sommet exécute des circonvolutions de plus en plus nombreuses autour de l’origine.

2° Courbe b. — Ici le passage de À par Vqg ne répond à aucune circonstance notable. Il y a simplement à distinguer deux cas, comme

il suit. Quand e est supérieur à 26, — v,, (n° 8), il y a une inflexion;

dans le cas opposé, il n’y en a pas. Suivant que l’un ou l'autre de ces cas a lieu, le signe de op, est changé, celui de p, restant inaltérable (n° 9). Au moment de la transition, l’inflexion naît donc au point 0.

À . ë , I LÉb Par suite, la valeur limite de À est celle qui donne (2), — 0, Ainsial

existe une seule racine 4, comprise entre 1 et g, pour l'équation