V. —— APPLICATIONS
93. Les formes diverses qu'affecte la courbe élastique sont toutes susceptibles d’interprétations en mécanique. Soit «8 un arc quelconque de la courbe. Imaginons une verge ayant son extrémité en « et encastrée suivant la tangente de la courbe en ce point; douée naturellement de la forme circulaire, ayant une longueur égale à celle de l'arc a5 (!), et pour courbure celle même de la courbe au point $, en grandeur et en sens. Que cette verge soit, en outre, soumise dans toute sa longueur à une pression p uniforme et nor-
male, et que les coefficients E, [ soient tels que Eu ait la valeur A,
calculée pour la courbe. Enfin qu'à l’extrémité £ 6 soit appliquée une force P égale et contraire à la force élastique. Ces diverses conditions
“étant supposées, la verge, ployée suivant l’arc 48, y sera maintenue
en équilibre par la pression p et la force P. q P P P
(') Nous supposerons qu'on ne lienne pas compte du changement de longueur.
54. Si l'arc af présente des points doubles, il est physiquement impossible. On peut cependant ne pas exclure ce cas en imaginant, conception purement théorique, l'épaisseur de la verge comme nulle, en sorte qu'on la puisse ployer en boucle sans la faire sortir de son plan. Nous admettrons cette conception.
55. Au lieu des suppositions précédentes, concernant les extrémités, on peut imaginer d’autres conditions aux limites, et nous en considérerons d’autres, en effet. Les principes de la mécanique nous enseignent, à cet égard, les règles suivantes, qui s'appliquent à chaque extrémité : 1° la force élastique doit être équilibrée par une force extérieure; 2° si la direction de la tangente extrême n’est pas imposée par les conditions aux limites, la courbure à l’extrémité doit être égale à la courbure primitive, pourvu toutefois qu’il n'existe pas de couple agissant à cette extrémité.
Prisme droit chargé debout.
56. Supposant, comme je viens de le dire, une extrémité encastrée. l’autre libre et supportant un effort P, on rencontre tout d’abord, comme l'application la plus simple, le cas suivant : l’arc considéré appartient à la courbe élastique ordinaire; l'extrémité encastrée est un sommet à, l'extrémité libre est un point d’inflexion. La courbure étant nulle à cette extrémité, nous avons ici une figure d'équilibre pour ‘une verge naturellement droite. Nous pouvons supposer l’encastrement vertical, et l'effort P exercé par un poids. Dans les figures 13, 14, 19, si l’on suppose, par exemple, que l'extrémité 8 soit le point d’inflexion situé au nulieu de l'arc ab, l'effort P, appliqué au milieu de cet arc, doit être égal et contraire à la force KF représentée, sur les figures, en b."Dans la figure 13, on peut aussi supposer pour l'extrémité 5 un autre quelconque des points d’inflexion (audessus du point a pour conserver le sens de la figure); mais, dans la figure 15, si l’on veut faire la supposition analogue, 1l faut admettre, comme Je le disais tout à l'heure, une verge d'épaisseur nulle.
Soit (n + 1) le nombre des sommets compris entre & et B, on aura,
» — - |x, en supposant t— 0 au point &. Désigenan pour 6,4 (n+;) € PP P gnant
par s la longueur de la verge, on aura donc s — (r + :) rl (n° 35).
Par conséquent, le poids P, égal à F, sera exprimé ainsi (n° 35)
I mg / P:= Le 2 — (40) (n+ =) Tr? =li+sY 1+(—1)"g |
Cette formule permet de calculer le poids P, quand on donne l’are a8.
Remarquons le cas de la figure 14, en supposant $ au milieu de l’are ab. Ce cas est caractérisé par une valeur particulière de g (n° 25) et sert de transition entre les figures 13 et 15. On a, pour
ACEICAS ) mg’? :
[+ 8 À Dan Lis DROE RE RES 12000 enr Pt]
D’après (40), le poids P est toujours supérieur à la limite
2 m2 Fr (a+ Ë te
Comme 7 peut être nul, P est, pour tous les cas, supérieur à P,. Donc un poids P, moindre que P,, ne pourra tenir en équilibre la verge fléchie. La verge, supportant le poids P, n'aura qu’une seule figure d'équilibre, sa figure naturelle, qui est droite.
Il est évident, &« priori, qu'en tous cas la figure naturelle est une figure d'équilibre. Mais, quand P dépasse P,, il en existe d’autres. D’après l'identité
SN GR RE NES) OU ee CUT EM
PA TU (— [)/2 ue él 124 gt nl LE EX ?
on reconnaît que, pour toute valeur positive de $, 1l existe une seule valeur de g, entre zéro et l'unité. Donc, pour toute-valeur de P, supérieure à P,, 1l existe une figure d'équilibre répondant à ñ — 0; elle est de la forme 13 ou, 15 suivant que Pest inférieur ou supérieur à 2,096...P,. Pour toute valeur de P supérieure à 9P,, 1l existe, en outre, une autre figure d'équilibre répondant à nr — 1, etc.
On le voit donc, une verge naturellement droite et verticale, encastrée à sa base, chargée d’un poids P, peut se trouver en équilibre autrement que dans sa figure naturelle, si P surpasse P,. Elle ne le peut dans le cas opposé. Dans ce dernier cas, on conclut avec raison que son équilibre naturel est stable; dans le cas opposé, il n’est pas permis de conclure à l'instabilité. La non-existence des figures d’équihbre fléchies semble bien, en effet, une condition suffisante,
178 j OEUVRES DE G.-H. HALPHEN.
mais non pas nécessaire à la stabilité de l'équilibre. Cette observation est, je crois, tout à fait indispensable; on en pourra Juger sur exemple qui suit immédiatement.
L'application dont je viens de parler est classique : c’est le problème des prismes droits chargés debout (!).
Verge fixée à ses extrémités.
57. Pour seconde application, prenons, sur l’une des courbes 13, 15. OU-10, un‘arc 4 Go tel qu'aux deux extrémités les courbures soient égales entre elles et de même sens. Ceci peut être réalisé de deux manières : 1° les points a, et a; répondent à des arguments 4 qui diffèrent entre eux d’un muluple de 27; 2° la somme de leurs arguments { est un multiple de 27. Dans le second cas, l’arc a, a a un axe de symétrie contenant un sommet « ou b.
Pour les deux cas, soient p le rayon de courbure en l’une ou Fautre des extrémités, s La longueur de l'arc. Nous pouvons envisager l'arc a, as comme figure d'équilibre d’une verge naturellement circulaire, de longueur s, de rayon p, et dont les extrémités sont fixées aux pOInts &y, A. :
Quand l’are a, a: présente des points doubles, nous devons imaginer que la verge, d’une épaisseur nulle, a été ployée en boucles par un moyen quelconque ; les extrémités ont été fixées ensuite, et leur fixité suffit à maintenir l'équilibre.
Des points doubles existent nécessairement dans le premier mode, quand l'arc est pris sur les courbes 15 ou 16 (voyez, par exemple, les ares a, &> marqués sur ces figures). Pour abréger, je n’étudierai pas ce genre de flexion, qui est de pure curiosité. Mais il n’y a pas de points doubles sur la figure 13, et je vais examiner, pour cette figure, les circonstances qui ont lieu quand l'arc a, a; est limité par deux points dont les arguments { diffèrent de 2 nr.
98. Désignant par £ l'argument d’une des extrémités, nous avons
re
RER | = = 8/7 D 7 cos(2m—i){=f(qg,t),
1 + 1H gi 1
(1) Voir, par exemple, Clebsch, Z'heorie der Elasticität fester Küôrper, p. 218.
AT OT ÿ $
Da et Un it ati © BB à té, à
DA 5 Mot A nl
Ces M k SM, ;
ve
DFE TON REUE
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pie
LS Lé
ét, en Ouire, $— 27mL-5S0oIt 24 — sl angle mesuré par la verge dans
sa forme naturelle ; nous aurons
(41) | a = nTrf(q,;t).
En second lieu, la distance c des points a,, a; se déduit de
l'expression de Y (n° 35)
Je vais comparer celte corde à celle c' qui sous-tend la verge dans
Sin % MES sa forme naturelle. La longueur de cest ——5+5" Ainsi Œ
| C __ Atu œ = (2) | c [y Sing
Je transcris 11, pour la commodité du lecteur, les expressions de y, et de y. ;
A CUT ee AT mq'!
4m=I— Does Eee 1)+1 q m ? ve. +8 (ing
La constante g est un quelconque des nombres entre ZÉTO et 0,107053..., en sorte que 4u, est un quelconque des nombres
ie
entre 1 eto;1ilen est de même de ——
Quand l'arc a, a: est donné, te deux formules (41), (42) nous font connaître l'arc primitif par les deux quantités a et c'. Prenons le
- problème inverse, et examinons comment on peut modifier la corde
en fixant les extrémités, de manière à obtenir une figure d'équilibre telle que nous la considérons ici.
Supposons la verge moindre qu'une circonférence pour éviter l'hypothèse de l'épaisseur nulle; par suite, 4 est compris entre zéro et x. Excluons encore les deux limites zéro et x; la première nous ramène à un problème tout pareil à celui des prismes droits chargés debout; la seconde exclut la considération de la corde €’ qui est alors nulle.
Ceci entendu, la formule (42) nous donne g, sous la seule condition
CRSIN der, > ne Es he EPS que = —— soit moindre que l'unité, c’est-à-dire que la distance à, &2
soit moindre que l’arc lui-même; condition évidente. Ayant g, nous
pouvons déterminer { par la formule (41). À cet égard, nous devons simplement remarquer que la valeur absolue de f(q, t) est toujours comprise entre / (q, 0) eu f (g: :) qui est nul. Par suite, il y à une solution £ pour chaque nombre entier 7 supérieur à br
Il y a donc, pour tout écartement des extrémités imposé à un arc naturellement circulaire, une infinité de figures d'équilibre (du mode considéré ici), quand cet écartement est maintenu par la fixité des extrémilés.
L’écartement naturel, égal à la corde primitive, n’est pas exclu de ce résultat. ;
Cet exemple montre bien l'exactitude de ce que j’avançai plus haut : la non-existence de figures d'équilibre avec flexion ne saurait être une condition nécessaire à la stabilité de l'équilibre dans la forme naturelle. Un arc de cercle, qui n'est soumis à aucune force, et dont les extrémités sont fixées à leur position naturelle, est susceptible d'une infinité d’autres formes d'équilibre. Comment pourrait-on admettre cependant que son équilibre ne fût pas stable?
99. Envisageons maintenant les arcs de la seconde espèce. Remarquons d’abord, parmi ces arcs, ceux qui ne contiennent pas de point double, quoique choisis sur les figures 15 et 16. Tel est l’arc a; @, (fig. 16), contenant en son milieu le sommet b. Le sens de la force élastique, aussi bien que le sens dans lequel varie la courbure, croissant constamment de b vers a, fait voir immédiatement que la corde c est ici plus grande que la corde naturelle. Au contraire, pour l'arc a, @, (même fig. 16), dont le nulieu est un sommet &, la corde c est plus petite que la corde naturelle. Cette dernière circonstance a lieu aussi pour l’are a’ a, pris sur la figure 15, ayant un sommet en son milieu, et de même pour un arc analogue à,a, sur la figure 13. Sur cette dernière figure seule on peut trouver une infinité d’arcs, ayant un sommet donné pour milieu, et dénués tous de points doubles. Arrétons-nous un instant à considérer ces arcs,
Soient { et — { les arguments des extrémités. En employant les mêmes notations que tout à l'heure, posant, en outre,
Ji(g; t) = Ù 1 sin 2/nt,
TI — gr
nous aurons les deux équations
