CIN NES

«—t{tf(qg;t), c'

7 gi (g; d).

La discussion est plus difficile que dans le cas précédent, quand on prend pour inconnues q et t. Mais je me contenterai de l’observation suivante : Supposons {—nT—+ 4/0, lo étant moindre que +, et À un grand nombre entier. Il est évident que les deux équations actuelles admettent une solution. (q, t,) peu différente de la solution admise, pour le même nombre n, par les deux équations du cas précédent. Ce fait résulte de la périodicité de f et /, par rapport à &. Donc, en ce cas encore, 1l y a une infinité de figures d'équilibre, notamment dans l'hypothèse c —c'. Ainsi, pour un arc de cercle dont les extrémités sont fixées à leur position naturelle, il y a, à proprement parler, une triple infinité de figures d'équilibre : 1° les figures examinées dans le cas précédent, et caractérisées par ce fait que l'arc fléchi est, à l’une de ses extrémités, dirigé d’un côté de la corde; à l’autre extrémité, du côté opposé; 2° parmi les figures du cas actuel, celles

pour qui {est compris entre Tel (r + . Tr; l'arc fléchi, à chaque extrémité, est dirigé, par rapport à la corde, du même côté que dans la forme circulaire ; 3° celles pour qui est compris entre (r — =) et (nr +i1)x : l'arc fléchi, à chaque extrémité, est dirigé, par rapport

à la corde, du côté opposé à celui où il se trouve dans Ia forme

circulaire.

Verge encastrée à une extrémité, libre à l’autré extrémité, et soumise à une pression normale.

60. Pour la première application de la nouvelle courbe.élastique (sous pression p), J envisage la figure d'équilibre d’une verge circulaire, encastrée à‘ l'une de ses extrémités, entièrement libre à l’autre extrémité, et soumise dans toute sa longueur à une pression normale et uniforme.

A l’extrémité libre, la courbure doit être conservée; en outre, ni force élastique doit être nulle. Cette force est le au rayon vecteur. La courbe passe donc à l’origine. C’est donc un cas

f UE « %

d'application des trois figures servant de transition entre les figures 1 et 2, ou 3 et à, ou 3 et 8, ou 9 et 10. Il suffit de regarder ces figures pour reconnaître que les cas (1, 2), (3, 5), (9, 10) répondent à “l'hypothèse d’une pression intérieure, où appliquée sur la concavité du cercle; le cas (7, 8) répond à l'hypothèse d’une pression extérieure.

Avec la pression intérieure, il y aura lieu de distinguer, d’une part, les cas (1, 2) et (3, 5); de l’autre (9, 10), et l’on prévoit que l’on passera du premier au second en diminuant la pression.

Je remarquerai d’abord que cette distinction se fait avec facilité par les équations originales.

Nous savons qu’ici la constante C doit être nulle, comme il résulte de son expression (6 bis). Geci est évident aussi par l'égalité

r cosÀ = Art+ Br?+0C,

puisque 7 doit devenir nul. En outre, lPéquation (1) nous donne

I Es k EN ? 2 :

2 B — EN désignant le rayon primitif. Les constantes sont ainsi

déterminées en fonction des données, et nous pouvons calculer le discriminant. Mettant x pour r? et faisant GC = 0, nous avons à considérer le polynôme æ?(Ax+B}?— x. Son discriminant, calculé

comme dans la note ($$ I, IT, p.121, 122), se réduit à = Î ; D = — 35 ÀA° C4 B3 + 27 A).

En premier lieu, ce discriminant est toujours négatif si B est positif, ce qui est le cas pour la pression extérieure. Pour la pression intérieure, 1l faut prendre © négativement. Désignant plutôt par p le

’ Le . L < rayon, pris positivement, on devra faire alors 2B — — -. Donc le P

À PER #2 42 s signe du discriminant est le méme que le signe de la quan-

Er I LÉ — 2 A pi —: ..

GT. Pour appliquer les formules développées dans ce mémoire,

" $ ; ; : l nous avons à prendre d’abord la fonction Ÿ(q, h, &), qui see

dé

dans chaque cas, y supposer 9 = h#, 1— 0, et remplacer / par son

NN), Ne DCR ‘ : PNA EE LS Sr trente. ne “ROC ANS ef US,

. : NOUS AVONS ainsi

2 À L(/s LS Nr

Cette première équation contient la seule inconnue , figurant

out expression V

dans 4 et dans v,. Cette inconnue est déterminée par là, et toute la

courbe est connue. Le paramètre 4, qui répond à l'extrémité encastrée, est donné par l'égalité s — /4.

Pour obtenir par ces formules la distinction des deux cas, relativement au signe du discriminant, il faudra les modifier de manière à mettre en évidence les expressions asymptotiques de Ÿ et de u: pour g—=h—1. Cest, en effet, par ce cas limite que s’effectue le passage; la courbe de transition ne dépend plus des fonctions ellip-

tiques. Je crois inutile de reproduire ici ce calcul.

S1 la verge est naturellement droite, l’origine est en même temps un point où la courbure est nulle. C’est le cas où l’on a

qg=e"TV3= 0,00426....

Anneau comprimé normalement.

62. Parmi les applications de la nouvelle courbe élastique, la plus intéressante est, sans contredit, celle qui à donné naissance à cette courbe et qu'a imaginée M. Maurice Lévy. Il s’agit des figures d’équilibre d’un anneau circulaire soumis, dans tout son périmètre, à la pression uniforme et normale p.

La courbe doit ici être fermée. On doit, en outre, remarquer qu’elle affecte seulement l’une des formes qui, sans rupture et sans que la figure sorte du plan, peuvent être modifiées en formes convexes. Ce sont exclusivement les figures 3, 5, 5 et 8 qui fournissent de pareilles formes. Les formes provenant de 5 et 8 contiennent des points doubles ; mais on ne doit pas les exclure si l’on veut admettre l'hypothèse de l'épaisseur nulle (n° 54). Ces diverses figures sont caractérisées par la condition u > 0, qui entraîne g << 0,107653.... Elles répondent au discriminant négatif. La pression est toujours extérieure. Done, pour le cas d’une pression intérieure, la forme circulaire est la seule forme d'équilibre. C’est toujours alors un

- équilibre stable,

63. La condition que la courbe soit fermée exige que, partant d’un sommet &, on y revienne quand le paramètre £ croît constamment. L’argument {, étant zéro au début, est 227 pour tout sommet homologue à a. En même temps, l’angle des rayons vecteurs correspondant aux deux sommets est 2 2 ur.

La courbe doit être fermée, et, de plus, tourner une seule fois autour de l’origine. L’angle des rayons vecteurs doit donc être égal à 27. Ainsi u est l'inverse d’un nombre entier; comme x est essentiellement moindre que l'unité, cet entier est au moins égal à 2.

Le courbe a pour axes de symétrie les rayons qui vont du centre aux sommets d’un polygone régulier de 2 n côtés.

La première équation entre g et À est (n° 32)

NT RS ES RNA AR ne Nes Er n 1+ A as rage e : ): S 9

Le périmètre total s correspond à 4— 2n7; donc { — = À, : SAUT 12

le rayon du cercle primitif étant 0. À cause de l'expression de {, on conclut la seconde équation

3 FR ÉT-R 2 aq!

M2 = Le Æ res +Ù mate DT ge - (r = um).

n (1+ h) 1+ (—i)#+#t qe | hr

Les deux équations déterminent À et q en fonction des données, qui sont À et £, auxquelles on doit joindre l’entier arbitraire nr 2 2.

Nous avons démontré (n° 33) que, dans l'hypothèse actuelle, u => 0, on à toujours ‘

De At — p?).

Mettant pour 4 et Lo leurs expressions, nous concluons, en rem- P :

plaçant À par SEL?

et, en mettant pour » le minimum #7 —2, po? > 3EI. Donc l’équilibre sous la forme circulaireest seul possible, et, par conséquent, l'équilibre est stable, si l’on a pot< 3 EL.

64. Dans le cas opposé, d’autres équilibres sont possibles. D’après la discussion faite précédemment (n° 34), ces équilibres peuvent

correspondre seulement aux nombres entiers » satisfaisant à la double

condition pp?

PP" ET n—2 est impossible; ne sont possibles que les nombres 7 — 3 ÉLEE 4

Dans le problème des prismes droits chargés debout, comme dans ce dernier problème, on a trouvé une limite des forces assurant la stabilité de l'équilibre, et cette limite est précisément égale à la force qui répond à l'hypothèse g infiniment petit, c’est-à-dire flexion infiniment petite. Cette circonstance est de nature à satisfaire; mas, si l’on se souvient que la méthode fournit des conditions seulement

Si, par exemple, est compris entre 15 et 24 exclusivement,

suffisantes à la stabilité, sans prouver nullement leur nécessité, on se convainc qu'on ne saurait avoir aucun droit à considérer a priori la force répondant à une figure d'équilibre infiniment peu fléchie comme une limite de la force garantissant la stabilité. Un exemple ultérieur, au surplus, mettra ce fait en complète évidence.

Verge encastrée à ses extrémités dans des pièces mobiles, et subissant une pression normale.

63. Une verge, naturellement en arc de cercle, soumise à la pression normale et uniforme p, est assujettie à ce que ses extrémités restent sur deux droites, coïncidant avec les rayons qui aboutissent aux extrémités de l’are circulaire primitif; en outre, en chacune de ces extrémités, la verge reste normale au rayon correspondant. Étudier les figures d'équilibre, tel est le problème dont je vais maintenant m'occuper. On remarquera que les conditions proposées peuvent être réalisées par le moyen d’encastrements dans des glissières. |

Une extrémité a&, devant rester sur une droite donnée, la force élastique en a, doit être normale à cette droite, qui, en outre, est normale à la courbe. La force élastique est donc tangente à la courbe; a, est un sommet. Chaque extrémité est donc un sommet, et le centre primitif est le centre des forces élastiques.

66. Pour se rendre compte de la transformation d’un arc de la

courbe en arc de cercle dans les conditions du problème actuel, on doi imaginer que, par le glissement d’une extrémité sur son rayon, rc est amené à tourner autour du centre, partout dans un mêm l'arc est ame Lo L d tre, partout d nême sens.

Ainsi, sur la figure 10, si l’on envisage l’arc bab', on voit que la transformation s’opère quand les points b et b” se rapprochent de 0,

dont au contraire a s'éloigne. L’angle au centre est 2 ob IL'est égal à l'angle des rayons vecteurs ob, ob’, tel que la génération de la courbe et les formules le donnent, 2(1+u)r. En général, sur la figure 10, si l'arc contient na sommets intermédiaires, l’angle au

centre du cercle est (+n)(+n)r.

Dès que » n’est pas nul, il faut supposer, comme on l’a déjà fait dans d’autres cas, une verge sans épaisseur. Mais, en prenant deux sommets consécutifs a, b pour extrémités, on n’a plus à faire cette restriction.

La figure 9 donne des arcs qui se transforment en ceux de la figure 10, quand on fait franchir le point o aux sommets a: La transformation en arcs circulaires est donc facile à saisir par cet intermédiaire. L’angle au centre est donné par la même formule. Dans ces deux cas, la pression est intérieure. RTE

La figure 12 doit d’abord être déformée en la figure 11 pour faire disparaître les points d’inflexion, puis les sommets b doivent franchir l’origine. Désignant toujours par r le nombre des sommets intermédiaires, on a, pour l’angle au centre, l'expression (14 n)(1—1u)x. Dans la figure tracée, cet angle est moindre que la circonférence pour n—0;n1 le cas nos celnidedLarc able es er est celui de l’are aa' ou celui de l'arc bb’. Pour ce dermier, lhypothèse de l’épaisseur nulle est nécessaire. La pression est exterieure.

Les figures 5 et 3 (la première changée d’abord en la seconde), les figures 7 et 8 (la seconde changée d’abord en la première) donnent des arcs circulaires d'angle (n+1)un. La pression est extérieure. Dans les autres figures, les sens de rotation sont opposés en deux sommets consécutifs ; la transformation est impossible. Nous avons ainsi examiné tous les cas. |

67. Donc, en premier lieu, les figures 9 et 10 répondent seules au

nd

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cas de la pression extérieure. En outre, l’angle au centre y étant supérieur à x, dans le cas de la pression intérieure, une verge moindre qu'une demi-circonférence n'a pas d'autre figure d'équilibre que la figure naturelle |