PAPA

F — AY P+ P&Y PI Y + “E MY PRIYIH. + Papi Y YPTI+H ap Jus

Le système qui se déduit de (8) est le suivant :

| &o(ao + PA) = 2P81%0; Solai + (p —1) @] = 2(p —1) 81% + 200, Lolo +(p —2) a3] = 2(p—2)gia2+ 2800, (9) | Solas+(p—3)a]= 2(p—3)g1as+382@, AN à A2 SU a LR Me Ne EE So(ap-1+ y) = 2814p1+(p —1) BAPE

Én 1 :

80%) — P£2Ap-1.

Ces équations montrent bien que le cas d'exception ne peut jamais se

produire quand il s’agit d'équations du second ordre. Effectivement,

si l’on donne une solution &,, on peut déduire immédiatement a, de la première équation, puis a, de la seconde, etc.

FE On peut vérifier par ces équations le théorème sur les invariants et

les covariants des intégrales, auquel j'ai fait allusion et qui sera dé-

montré plus Ioin. Supposons d’abord p un nombre pair et considé-

rons l’invariant quadratique de F,

[= aa) — paiap-:

(Cp —1 ( PP Li SARA ARR Ee 152 2 P PP M Rs 2 Sa dérivée peut s’écrire en à 5:

l'= a, a, — pa, ap 1+ Poe Apart DA AAa Ap Ao- En substituant les expressions de 4, a, ..., &, tirées de (9), nous obtenons | Lol = 2pgil.

Posant, pour abréger,

(10) TRE ml

on voit que w??[ est une constante. En d’autres termes, l’ineariant quadratique de la forme u?F est une constante. Plus généralement, soit J une fonction quelconque de &s, &i, ..., 4); on aura, d’après les équations (9), cette expression de la dérivée J",

! 2891 oJ

= Et pas + (p =D aide + (p—2) ue + | L£2 OJ ÔJ OJ age -oa de + are +

J 0] ol — Pas ERA DE DRE EEE '

Si maintenant J est un invariant de F, on a, d’après les propriétés des invariants, la réduction suivante :

Pom e1 \ #0 où m est le poids de cet invariant. D'ailleurs le double de ce poids est égal à p fois le degré de J par rapport aux lettres &,, &, ..., &p. Donc tout invariant de u?F est wne constante.

Cette propriété du système (9) méritait d’être signalée : Quels que soient 96, £1, Lo, le système(0), dont l’ordre est (p +1), a tou- Jours (p — 2) intégrales qui sont fournies par les invariants de la forme binaire du degré p. Le cas p = 2 fait exception, bien entendu.

PU LTE. CNT. PC PT EN € TUE RTE

sat |

À Su