SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Pour vérifier de même la propriété des covariants, modifions les équations (9) en posant UPA; =.

Le type général des équations (9) devient, à cause de (10), (11) Solxs + (P—S)asr1] = (p —25) gias + sgras-1.

Soit maintenant un covariant H de la forme w?F,

AVR A2 172 y? +... + JAY AV TT 1 + AY.

RÉ CRCPH ECRG AT ETE LNIEE 14 2

Calculant, d’après (11), la dérivée d’un coefficient de H, nous

aurons OA OA À RTE SRE = = S + À s gAL= a [pas 0% + (p 2) % PR + (0 a | + Lol a LE 2.4 Le + 3a A e 52 Sr lue PRES

D'après les propriétés des covariants, cette équation se réduit à SoA=(q —25)g1As+ Sa 5-1 —(q —5s) Los.

Cette dernière ne diffère de (11) que par le changement des lettres p en g et « en À. Donc H est le produit d’une intégrale par ul: tout covariant de uPF, du degré q, divisé par ul, est une intégrale.

8. On pourrait encore, et d’une manière analogue, prouver le même théorème pour les équations de tous les ordres, par le moyen du système que représente l'égalité (8); mais je préfère me borner à la démonstration simple et profonde qu'a donnée M. Darboux, auteur de ce beau théorème.

Nous avons composé F au moyen de 7 (B). Cette dernière est une forme, à coefficients constants, et aux indéterminées B,, B:, ..., B,, et nous avons posé

(12) B; — B(y, 1) B2— B(y, 2); SooT Bh = B(y, Nn ):

En regardant y*=1}, 7-2), .,., y, y comme les indéterminées dans la forme F, ainsi que nous l’avons fait jusqu’à présent, nous

voyons que F est une transformée de :(B) par une substitution linéaire (12), pour l’expression de laquelle on recourra à la formule (4). D'après les formules (5), le déterminant À de cette substitution est égal à g%, multiplié par le déterminant composé avec Dis Mas +) Nn et les (7 — 1) premières dérivées. Ce dernier a pour

—n| — dx

expression e * ® , ce qui, d’après les relations entre les g et les y,

FRE Ln AJ. Sdr Es z : ; :

coïncide avec g,"e* # . Ainsi le déterminant de la substitution (12)

est