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Désignons généralement par la lettre a les coefficients de F, par a ceux de ‘y. Soit maintenant un covariant de F, représenté par U(a, y), la: lettré"y tenant 161 la'plaséide pet A 7 Sn esble poids de ce covariant, on aura identiquement, en vertu de la substitution (12), j
: ER AmU(a, B)=u-2"7U(a, B).
Comme U(a, B) est une fonction à coefficients constants, formés avec des intégrales B, elle est elle-même une intégrale. Donc le covariant U, de la forme F, multiplié par u””*, est une intégrale. Soit g le degré de U par rapport aux lettres 7-1, ..., y', y, et soit r son degré par rapport aux coefficients a; on a, comme on sait,
nm = pr — 4.
Le même covariant, calculé pour la forme u? F sera uw?" U, Donc :
Taéforeme Î.
Si Festuneintégrale du degré p, tout covariant de uPK, du degré q, est égal au produit de u4 par une intégrale du degré qg. La lettre u désigne la fonction
LINE 60 à Tout invariant de uPK est une constante.
M. Darboux a étendu aussi cette proposition aux contrevariants. Pour exposer le nouveau théorème, envisageons les quantités fs, Bi, «.., Ba 1, définies par les relations (5), et mettons-y en évidence la quantité n en écrivant 8, (n), fi(n), ..., Br 1(n). Si nous y remplaçons successivement n par ñ1, 2, +, n, NOUS aurons »? fonctions
me 1 & RP à
PRES RER PUS Pt 0 ER ne ea LT EU EE LE RTE)
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de æ, par le moyen desquelles s'expriment linéairement toutes les quantités 8 (n).
En effet, c,, €», ..., €, désignant des constantes, on a
AZ Ci Coma +... + Chr) et 1l en résulte
(13) Bs(n) = c1Bs(n1) + ca Be (no) +... + cn Bs(nn), (S=0,1,2,..,n—1).
Comparons cette substitution (13) à celle que nous avons envisagée précédemment
(14) Bb B(y, 1) = Bots). — Bi(ns) (2-2) #7 Bons) +, + (—1)2-1 B,# (ns)7.
Ces deux substitutions sont les transposées l’une de l’autre, de telle sorte que si l’on considère B,, B,, ..…., B, comme remplacés par 721), yME2}, ..., y Suivant (14), en même temps c,, C2, ..., Cn Sont rem- LA e A M . JE placés par B(n), — Bin), Befn), ..., (— 17163 ;(n) suivant l’inverse de la substitution (13), transposée de la précédente. Donc B,, Dr Dr dUné parti etc tee ..,"47, dé-l'autre, considérées comme indéterminées contragrédientes, se remplacent en même (éMpS pare ma pour les premières, par :8;C#); — Pin), ., (— 1) !Pa 1 (n) pour les secondes. Soit donc V (a, y, f) un contrevariant (si les y n’y entrent pas) ou un covariant mixte de F, du poids m; on aura P )
V(a, y, B)=AmV(a, B,c)=u-r"V(a,B, c); par conséquent, u*”V{a, y, 8) est constant. C’est une intégrale du
système des deux équations G(y) = 6, F(n) = 0. Il en résulte que : tout covariant mixte de uPF, formé avec les indéterminées con-
tragrédientes Ro, — Pi, KBo,..., (—1)7 fx, quicorrespondent,
HAN COROrAT en CR MO EE y; dusdegré q Dar rapport aux $, et du degré q par rapporltaux y, est le produit de ul par une intégrale du système G(y)= 0, F(n) = 0.
9. Voici maintenant une autre proposition analogue, concernant les multiplicateurs. Nous avons trouvé (n°5) pour le multiplicateur M, qui correspond à F, la double expression
DER TE £o dre 0B,
On peut passer de l’une à l’autre de ces expressions au moyen de de la re (12), remplaçant les B par les y dans le poly-
nôme D ns 3
coefficients 2 M, exprimé par les y, et x les coefficients dans la
, du degré (p—1) par rapport aux B. Soient « les
seconde forme. Prenons un invariant W(a«) de M, nous aurons W(a)=AnW(z) = um (a),
: U à à 0 Ici Wi(oa)n’est pas une constante; car les coefficients de > ns ne SMÉL” S sont pas constants : ils sont linéaires et homogènes par rapport aux".
Si done W est du degré r par rapport aux coefficients 4, Wa) est un polynôme homogène, et du degré 7, par rapport aux n; c’est la source d’un multiplicateur du degré te 1). Dans w?F, le premier coefficient, celui de [ y? ae est u? g5yp(n). C'est aussi, au facteur numérique près p, le premier to celhdedyralreedane uP »,M. Si l’on calcule linvariant W pour & u? #4, M, on obtiendra le tre précédent, muluplié par uw?" 9%. D’alleurs, d’après les propriétés des invariants, mn = (p—1)r. L’invariant actuel aura donc la forme u' 9% y; (n), puisque W (a) est un polynôme de la définition
de y;(n). Donc :
Taéorëue Il. — M étant un multiplicateur, du degré p —1x, tout invartant de uP g, M, du degré r par rapport aux coefficients, est égal au premier coefficient de u'K,, F, étant une intégrale du degré r. C’est, en même temps, le premier coefficient de uw°g5M,, M, étant un multiplicateur du degré (r — ok
10. Jusqu'à présent, nous avons considéré les multiplicateurs comme obtenus avec les intégrales correspondantes. Les coefficients d'une intégrale F se déduisent de la source par le moyen des équations simultanées, qui sont représentées ensemble dans la relation (8). À des facteurs numériques près, les coefficients du multiplicateur reproduisent une partie des coefficients de l’intégrale, ceux qui con- Uuennent y(?-1), Si donc on voulait déduire de la source seulement le multiplicateur, non l'intégrale, 1l faudrait éliminer d’abord un cerain nombre d’inconnues. Cette opération, très simple pour le second
ordre, et qui se fait entre les deux dernières équations (9), se com-
plique déjà pour le troisième ordre. Comme ce sont précisément les
rt
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complications de calcul que nous avons ici à éviter, etque, d’ailleurs, nous voulons opérer avec les multiplicateurs, il nous importe de savoir Calculer directement leurs coefficients. Je vais en donner le moyen. x
11. Soit un polynôme entier et homogène, composé avec y et ses dérivées, où l’on regarde y comme une fonction indéterminée de x. Les coefficients de ce polynôme U sont des fonctions données de +. Je dirai que Ü est irréductible si, dans chacun de ses termes, la dérivée de y, de l’ordre le plus élevé pour ce terme (y compris zéro), a un exposant au moins égal à 2. Ainsi
yo e Cyr Dr
est irréductible; si l’on y ajoutait le terme Ey?y', U ne serait pas irréductible.
Un polynôme, de la définition de U, c’est-à-dire entier et homogène par rapport à y et ses dérivées, est une dérivée exacte quand il existe un autre polynôme analogue V, du même degré et d'ordre inférieur
d’une unité, tel qu’on ait U = V/, quelle que soit la fonction y.
La proposition suivante est presque évidente : Un polynôme irréductible qui est, en même temps, une dérivée exacte, est identiquement nul. En effet, dans V’ la dérivée de l’ordre le plus élevé n'entre que linéairement, ce qui est en contradiction avec l’irréductibilité de U.
Voici la seconde proposition sur le même sujet : Tout polynôme entier et homogène Ü est réductible à la somme d’un polynôme entier, homogène, du méme degré et irréductible, et d’une dérivée exacte.
Pour le prouver, soit, dans un terme de U, o l’ordre le plus élevé des dérivées. Dans ce terme y?) figure linéairement, sans quoi ce terme serait irréductible, par définition. Distinguons maintenant deux Cas :
1° y(e !) figure dans le même terme, que j'écris alors a[ y(e-1)f#716), et où la lettre & peut représenter le produit d’un coefficient par diverses autres dérivées de y, toutes d'ordre moindre que (2 — 1).
L'égalité
mm + I ja[y(e-10]n+t U— RC Te 7
(p—1) 1m so) — aus ] Je mm HI }
opère la réduction; car la dernière partie du second membre ne con- tient que des termes irréductbles.
2° y(P-t)/nefigure pas dansle terme considéré, que j'écris alors ay(P/. L'égalité ay?) — [ay (p-1]| — a’ y\e1)
réduit le terme proposé à d’autres qui, contenus dans la dernière parue du second membre, sont d'ordre inférieur à 0. En opérant ensuite sur chacun de ces derniers par l’un ou l’autre des deux procédés, on opérera la réduction. Remarquons d’ailleurs que la première proposition entraîne cette conséquence : la réduction ne peut s'effectuer que d’une seule manière. Ainsi tout polynôme U peut s’écrire, d’une seule manière, sous la forme Ü = V'-+ W, où W est irréductible. Cette dernière parue W est la parte irréductuble de U.
La conséquence finale est celle-ci : Pour qu'un polynôme U sort une dérivée exacte, il faut et il suffit que sa partie irréductible n'existe pas.
12. Revenons maintenant à une fonction linéaire G(y), pour en chercher un multiplicateur M, entier, homogène, du degré (p — 1), par rapport à 7271), ..., y', y. D’après la proposition précédente, la condition nécessaire et suffisante pour que M soitefjectivement un multiplicateur consiste en ce que la partie irréductible du produit MG ait tous ses coefficients nuls.
La seule observation qu'il y ait à ajouter HE sur le nombre des conditions ainsi trouvées : il faut, en effet, s'assurer que toutes ces conditions sont indépendantes, et qu'elles déterminent complètement le multiplicateur.
Pour composer une forme irréductible du degré p, on n’a qu'à augmenter d’une unité l’exposant de la dérivée la plus élevée figurant ES chaque terme d’une forme quelconque, du même ordre, et du degré (p —1). Or MG est du degré p et ne contient y?) que Hot rement. Donc sa partie irréductible est d’ordre (n—1) et contient juste autant de termes que M. On aura donc Juste autant d'équations qu'il y a de coefficients dans M. a
La suite de ce mémoire présentera l'application de cette dernière théorie (IT, n° 30 et suivants).
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