CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

13. Pour les équations du second ordre, le problème que nous traitons ici se pose en ces termes : intégrer l'équation quand on connaît le produit de plusieurs solutions. Quand il s’agit de deux solutions, le problème est réduit aux quadratures par une méthode des plus simples, et dont notamment M. Hermite a fait usage pour l'équation de Lamé ('). Je n’ai pas à rappeler 1c1 cette méthode; on peut. la remplacer par une autre, qui se rattache aux théories actuelles, et qui, bien entendu, mène aux mêmes calculs pour ce cas, mais qui

s'applique aussi, quel que soit le nombre des solutions dont on connaît le produit.

L'équation proposée étant F(n) — 0, et le produit proposé ‘/(n) comprenant p racines, on forme, par le moyen des équations (9), l'intégrale F dont /(n) est la source

F=@yP+payP iy+...+ papy JP+ apr.

Supposons F décomposée en facteurs - F = @o(Y— ay) — 27). (Y'— 29).

Chacun de ces facteurs est proportionnel à une intégrale linéaire B(y, ns). D’après l'expression (4) de B, on a donc

(Sons) — 28105

— Zs.

Sons

Il en résulte, pour chaque racine 3, une solution

nue

Donc, en tous les cas, le problème peut être résolu par des quadratures. Cette méthode s'applique quand il s’agit de deux solutions, et aussi quand il s’agit des cas singuliers relatifs à plus de deux solutions. Par exemple, si l’on donne le produit de quatre solutions sans avertir que ce produit est précisément le produit des carrés de deux solutions ; alors, en appliquant la méthode générale dont il sera ques-

(!) [Œuvres d’Hermite, t. 3, p. 118.]

tion tout à l'heure, on sera, par le calcul même, averti de cette circonstance, et 1l faudra recourir à la solution précédente. Mais, ces cas singuliers étant laissés de côté, toutes les fois que le produit considéré est composé de trois solutions distinctes, au moins, toute quadrature devient superflue. En effet, la forme F admet alors des covariants linéaires, rationnels ou irrationnels, et ces covariants fournissent les solutions sans aucune intégration.