FORMES CUBIQUES
14. Intégrer l'équation du second ordre o=T(n)= Yon +2yin + Yan,
connaissant le produit (x) de trois solutions. Par les équations (9) nous déterminons &,, &>, &3, coefficients de
ao = g4 2(+). Nous considérons ensuite la forme cubique ST
Prenons le covariant cubique Q et le discriminant R de F, et dési- -gnons en même temps par g, r les mêmes formes pour f. Nous aurons | |
g=uQ, r=v2R2 - Q et R étant pris, quant aux facteurs numériques, comme dans Clebsch (Theorie der binären algebraischen Formen, p. 127), nous savons que
ee) (cer)
est un covariant linéaire. En le divisant par w, on a (n° 8, th. I) une intégrale linéaire. En prenant ensuite le coefficient de y’ et le divisant par go, on a une solution n de l'équation proposée. Pour avoir ce coefficient, 1l suffit de limiter Q et F chacun à leur premier terme. Prenant ces termes et écrivant explicitement R, remplaçant aussi u par son expression, nous avons |
d n=-$e) V (aÿ a; — 3aoa a+ 2a3 13
RS D ES ' : € » 5 + d0Vai a? + f'asyai + ja;ai—3ajai—6açasasaz).
DR Sd
= és
SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 213
Telle est la salution du problème : la formule donne deux solutions distinctes exprimées en fonction des quantités &o, &, &2, 3, qui sont ainst déterminées :
ay = YÉ PT);
, 61 RE Er nc Bi Yo 82 52 23 = — di + 4 — ai + — o; 82—= 21 + To:
Yo Yo > D Me Ne rot gi Yo Yo
On ne manquera pas d'observer que la quantité soumise au radical du second degré, étant égale à l’invariant R, ne diffère pas de u!?. On a, par conséquent,
I sf dx I — € Yo S Yo
(aÿaÿ+4aai+ fa;ai—3aîai—64aya;a:43)
en sorte que la quadrature qui subsiste est encore superflue, et que la formule définitive, dégagée de toute quadrature, est
12 RE Pr 7 qu (15) n 7, (ee
aÿ A3 — 3 Aya 42 + 24aÿ |
Désignant par n, et par n, respectivement les solutions qui correspondent aux signes + et —, on voit que les trois solutions dont le produit fait (x) sont, au facteur numérique près V2, les suivantes, où w désigne une racine cubique primitive de l'unité : n3+-5%2, 1 +02, NH w?no. On a, en effet,
I a = (ni+ ni) = 5 = p(æ).
Nous pouvons encore observer ici une application, soit du théorème Î concernant les covariants des intégrales, soit du théorème ÎI relatif aux invariants des multiplicateurs. Le covartant hessien de f a pour premier coefficient uô(aç,a,— ai). Ge covariant étant du second
4 2 LA (72 9 ° degré, il en résulte que a (Ga: — a’) est le produit de deux solu- 2 :
tions. On a la même conséquence en prenant le disériminant du mul-
tuiphicateur. Cette conséquence se vérifie ainsi
Ass dy d2 — 4 ( - 4 IN Em an
Ne ais (aa (a dl ali tan aa)
APPLICATION
15. Appliquons ce résultat à l'équation numérique suivante, où 4 désigne un polynôme du second degré,
7 3 Fo 4 " 9 ga a+ Vaso, V=hat+adir +.
C’est, comme on voit, une équation hypergéométrique. Il s’agit de l'intégrer sachant qu'il y a trois solutions dont le produit est égal EH: 4 CE Voici les calculs :
RACE SE to = Ÿ; HA RÈTRES PA œ UE [ RL I A So = YŸ, 81 74) #52 SET S ) I I [ Do PR er Un ea PP e VUS SUR
Re x ; et pour vérification £2,4a, = 394.
O3 SD 25-221 A$a3— 3454143 + 24 —=—241(A45d42— a?), a$ ai + 4açai + fazaïÿ— 3ata?—6aça aa; RATS à sr À = js (aids— Saoaar+aai) + — (
dar AP = TE (avar— at}.
ni do
La formule (15) se réduit à
l AT 3 1, = 2 (ao a 2 Yo az2 Substituant et omettant un facteur constant, on a finalement
On remarquera, dans cet exemple, que le produit des deux solu-
à , PET ke Uons n,, f» fait aussi 1° à un facteur constant près.
SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 215
FORMES BIQUADRATIQUES.
16. Intégrer l'équation du second ordre Ge — 0, connaissant le produit o(x) de quatre solutions.
Par les équations (9) nous déterminons &,, &», a3, a; coefficients de l'intégrale F du quatrième degré dont le premier coefficient
— L » x 2 & est ay — g, 2(æ). Nous considérons ensuite la forme biquadratique f
SÉÉENIRAUR
Soient H, I, J le hessien et les deux invariants de F; X, &, 7 les mêmes formes pour f (avec les mêmes coefficients numériques que
dans Clebsch, Theorte der Formen, p. 246). On aura
RESULT Bus; VRRVIPAE
. ! U 2-28 TER q dc 7 ue ? À Soient o, 9’, 0” les racines de o sP—S —0. D’après M. Cayley, on sait que les facteurs linéaires £ de f se mettent ainsi sous la forme
de covariants
oo VA Of (o! De file OV Ro fl:
En opérant sur F, prenant les racines 5, 5', s” de
el posant
