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Remarque. — Le rapport J?:15 est une constante.

On peut encore présenter la solution sous une autre forme en employant, au lieu des facteurs linéaires de F, ses covariants canoniques. Voici alors le résultat : s étant une racine de l’équation (13), on obtient deux solutions n par l’équation

(16 bis) Y5Ln8+ [2310 + 2))(aças— af) — (10 +2J) aoc]yéPnt c < — (15 — 29)(315+92J)[2(aa2— a?) +oa] = 0.

17. À posteriori, la formule (16) peut être vérifiée; à cet effet, je

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 217 Vais prouver que, Yo; Go; &i, &», J étant des fonctions de x à volonté, = :

et [étant égal à J*, sauf un facteur constant, les quatre fonctions ñ données par la formule (16) satisfont à une même équation linéaire du . . € é x second ordre, et que leur produit fait cr » à un facteur constant près,

Posons, pour abréger,

2(4ÿ42— af) = dE ;

s'— 0” — #2, s'— ao — (2, s—5'— y?, s+E — a?, g'+ È = b?, "+ È — c?; d’où résulte a? = b2— c?, B2 — c? — a?, y? = a? — b?,

L’une des quantités n données par (16) s'écrit ainsi te) ant oo, 5 \] en vertu de l'identité aa?+ bÉ?+ cy?

Nous obtenons successivement trois autres n en changeant successivevement le signe de l’une des quantités a, b, e. De là

Hd) (ao (as var ce) (a=bj(a—e) Fay?

de ON

et, en précisant à volonté le signe den, (c désignant maintenant /— 1 ) P ñ (£ ;

(17) nm (a+b)(a+c) ; 7 no c6Y Semblablement, Ar t0E CNGO ME A) Ho (ee @) (CE OS ES M Un Lee Un

De là résulte «

miam (a bb) Per a) 122 62 y? __ ; aa? P?y?

no a? 6? y? ON AAC HET iaça28?-? 1 4 GE 18 ï T,9 DS PAR ARR = D 0 — I, H5) No A1 G2 03 EI 3 alor I

Cette égalité, d’après la supposition que J?: [° est constant, prouve

AD . ee . x (#2 À déjà que le produit des quantités n diffère de + seulement par un

Yo facteur constant.

L'égalité (19) peut s’écrire By = a+ ab + bc + ca, lo

et les suivantes d’une manière analogue. En retranchant membre à membre les équations sous cette forme, on obtient

ane = Bi + CYno:

An 3 = YN1 == LP,

La constance du rapport J?: 1% implique aussi la constance des rapports de 5, 5,5 entre elles. Donc 2, $, y ont des rapports constants. Donc les dernières relations indiquent que »: et n, sont fonctions linéaires, à coefficients constants, de 5, n,. Donc ces quatre quantités satisfont à une même équation linéaire du second ordre. La vérification est donc complète.

Pour achever, on peut encore donner explicitement, en fonction de o tn, par exemple, les solutions canoniques, celles que fourniraient l'équation (16 bis). À cet effet, il suffit de substituer, dans (18), les expressions de n, et n:, puis de réduire la forme biquadratique à être bicarrée. Voici le résultat :

S'i l’on pose

ES En

LE SPRL ne ES OA = |- ET | (no+ n1), I J(B—:iy} 71".

nes | (no M1);

les deux quantités 36, 3, sont deux solutions de l'équation proposée (car les facteurs sont constants), et elles satisfont à la relation |

I 4 mn u 2 z A Re A 3 (19) PE À ER SEL ETES Let vi p(x)

18. Avant de faire une application numérique de ces résultats, je . vais indiquer une légère modification qu’on peut apporter au calcul pour tous les cas où il s’agit d’une équation du second ordre.

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 219

Cette modification provient de ce fait bien connu que l'équation G(y)= 0 se transforme en son adjointe F(n) — 0 par la substitution Y = u?gon, de même que, dans les formes binaires, les contrevariants coïncident avec les covariants.

Faisons simultanément

—f# dx — de HER RS LS DE UPS = UV Yo — I.

Donner y,(n)—=#+(x) revient à donner y,(y)=+"?PÀ\"o(x). On peut donc calculer une intégrale #, de l(n) —0, avec la source prPEo(x) Son premier coefficient sera A5 — prPo(t). Au-lieu de #, calculons directement fi= vP$; ce sera, d’après le théorème I, une forme à invariants constants. Dans un covariant linéaire de f,, soit #, le coefficient de #/; alors »-t+5'"k, est une solution y; par suite, vk, est une solution 1.

Nous avons déjà, au n° 7, donné les équations qui déterminent les coefficients de /,. Elles ont pour type (11)

Yo Las + (p= s}Ls41 | = (CP — 25) Y1%s + SYa Rs.

Par cette méthode la solution du problème pour p — 4 se présente ainsi :

Ayant déterminé 45, di, 4», 43, 4, par les équations

+ he p = e © Yo k ao = PTt p(x), / #11 NET Re] Yo 2Ÿ1 2 Yo 2 D 23 = — An + PO CPC RE Yo Lg = — 3 — &z + Le Yo Yo 4 Yi À Yo ON VE O—— 4), — HF ARTS (pour vérification), Yo Vo

puis, ayant exprimé 1, J, 5 par les a, comme on l’a fait plus haut

par les quantités a, on aura la solution sous la forme

(20) s n=0|(s — 5") Vaaotr— x?) +6 a LE (s"—o )V2(aoto— ai) + 5°

H(o — 5 )y2(xoû a?) + 0° a0 |”:

les quantités 1 et J seront des constantes.