APPLICATION. — DIGRESSION SUR’ L'ÉQUATION DE LAMÉ

19. Intégrer l'équation suivante, où 4 désigne un polynôme du troisième degré, |

(21) Qa+ = ne Vn = 0, V= Vori+ 34e + 3e + Vs

sachant que quatre solutions ont un produit constant.

Voici les calculs :

7 Lapr Fi / .

Yo = Ÿ; Me 1e «Fa = 4% ", p(æ)=1,

6 ao = Y, &i — O0,

ee RER D NE PR 10 3 Ÿ :

lp I 19 A N/1 Re 3 2 | ME: Ter — 2447) = De (Yi — Yo2); I I f [/4 “4 12 1/4 I Fo = 52.33 (3Ÿ DUT — 34472 — 473) — 0 A Pr EE US Pak

Si l’on fait s — : (Lor+ Ÿ,), on trouve ici pour transformée de (15)

l'équation Ÿ(+) — o, en sorte que l’on a

g'— 9" — 5 Vo(t'— +”), D'autre part, 2(Ko%2— À?) + dy = F Lo LT — x).

» : 3 . ; LT 4 De Ia sorte, en omettant un facteur constant (3 Yo), on "a,

d’après (20),

n={[(x— 7") — 2 ÆE(t—r) rx E(r EU rx |2.

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 9291

Cette formule fournit quatre solutions de l’équation proposée; 7, 7,7 sont les racines de l'équation Y(r) = 0. Conformément au calcul fait-plus haut, si l’on pose

TT d, Te —=$2,: T—T—.Y?,

on peut écrire les solutions sous la forme

no= VTa —6)(b—c)(e— a),

MAN ane AT d i BY

rs (b+c)(b+a)

12—=71)9 iya )

SA a D A Ÿ nm) 13=—= 16 taf ) et l’on a

nonin2na = La? f2Y?.

Les relations linéaires entre ces solutions et la forme canonique du

cénéral (n° 17);

1l faut seulement mettre o(x) — 1. Il y a encore pour ce produit une

produit s’écrivent exactement ici comme dans le cas

autre forme, valable aussi dans le cas général, mais qui, dans cet

exemple. offre un intérêt particulier. P'€; P

Si nous posons .

| no = (— Vo )a rte,

: nos Éfni = (— Vo) tartes; l'expression du produit donne

Co( Gi — TCo) (Gi — T'Éo) (Éa— To) =1

ou, en d’autres termes,

Cette formule va servir de fondement à une transformation de l'équation 20 qui mérite d’être signalée.

20. Pour faire cette transformation, 1l nous est nécessaire de connaître la valeur exacte du déterminant 656, —5%,6,, qui, d’après

Heu l'équation proposée (21), ne diffère de Ÿ * que par un facteur

numérique. D'après les expressions de n, et n,, on a

no 2 db DC AN EE Ge RER ET À be re a abc

nn. a—b— °c E ni! | L2abe +

De là résulte immédiatement, abc étant égal à ÿ— (x),

Pt AR

| 2VY(æ)

Semblablement, les deux solutions qui font acquérir au produit la forme canonique (19) donnent lieu au déterminant

! RATE Vo(t = T7)

(22) SE NE ei pe /