SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

La première équation peut être écrite d’une manière analogue.

supposant écrite et éliminant Ÿ”, j'ai

, d? 4 dy k?n5° dE? —2h#?n55n =:

uL— M M LR EU PES DTA +| FE” TL (24 OUT RTE 0° 2e ) 1"

Pr dno dy ,fuL—2M e:2M Ê do } d? 59 |

[ a RE — de? Hdi die DER LES CE nè-de?

La transformation est achevée, sauf à exprimer explicitement r, en

fonction de £. Or c’est ce que nous savons faire si-la première équa-

Hon‘coïncide avec celle que nous avons étudiée tout à l'heure. Faisons

cette supposition, c'est-à-dire

Deux solutions quelconques n,, n, donnent lieu à une forme biqua-

dratique, égale à l'unité; donc on a 4 nù x (2) =:

F. ee

où :/ est un polynôme du quatrième degré. Donc

Ne er

Je changerai la notation de la constante M, en écrivant

et aussi l’inconnue en prenant Ÿ au lieu de y,

(23) PanimtY=sg À Y. “=

* Le calcul n'offre plus aucune difficulté et donne pour résultat la

transformée ë eur 1) % dY (2m—i1)(m—1) dy mi it

J'ai pris arbitrairement les solutions 1, etn,; si Je les choisis et que, par exemple, mon choix se porte sur les solutions 69,6, (n° 19), alors se réduit au polynôme du troisième degré Ÿ lui-même. J'ai cal-

; ea de ÿ.

culé (n° 20) la constante L pour ce cas; elle est égale à a En résumé, j'ai obtenu la transformation suivante :

(x) étant un polynôme du troisième degré dont les racines

sont 7, 7,7’, le changement de variables

(25) P Re rw EVr 7 ZA = [(7 Re ce es MATE LAE Pien RE T—x)l +

transforme l’équation

; PRE dy 1— 4m? y’ = GG) dore Ve [EE Y)+uly=e en celte autre

AY lY (2m—1)(m—1),,

(27) RAC er De D VOTE + + @)+4a[v 10.

La signification de la relauon liant & et æ, au point de vue de la théorie des fonctions elliptiques, ne saurait échapper au lecteur. Si

3 1 ; se l'on suppose u — 0, m — yet Y se confondent; ces ae sont

égales, sauf des facteurs constants, aux intégrales nu A Va

Pour déterminer le rapport des facteurs constants, il suffit de faire x infiniment grand, ei l’on a immédiatement ce résultat : la relation (25) est équivalente à celle-ci:

; io e 1% of. É£ x VY(x) Ve VY(E)

Je reviendrai plus loin à la considération des fonctions elliptiques.

Pour le moment, je m'arrête encore aux propriétés algébriques de

l'équation (24).

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES, 225

22. D'après l'analyse qui a conduit à cette équation (24), on voit F aë + b S; a'E che b' de changer l'équation différentielle en elle-même, sauf changement

que toute substitution linéaire effectuée sur £ a pour effet

de la constante h, et sauf, bien entendu, changement du polynôme y, du quatrième degré, en son transformé. Je vais utiliser cette propriété projective en prenant maintenant deux variables indépendantes #5, n, et considérant Ÿ comme une fonction de ces variables, homogène et du degré zéro. Je reviens alors à l’inconnue primitive y, qui, , KE , x x ’ À F d’après (23), sera homogène et du degré (2m — 1). Au polynôme (6) Je substitue une forme biquadratique homogène 4; je pose ainsi en même temps F=n a, ben(y.

Je dénote par des indices les. dérivées partielles, ainsi

6 = — = — a — Me Ad EN 0 mom

En différentiant, j'ai dY ARUNEeTE 60 mere ..,

et de même pour les dérivées de y, ce qui conduit d’abord à la forme

: DUITECE HIUNIE By —(m—1)0yi+ SRE en ad AL Mais les relations d’homogénéité

0 — (rini + 20omoni + Boonÿ),

l L2 Vi 3 (ini + Boino), KES a ti + Jui 6),

ARE ——————© (10 + 20100 1 + Yooni )

CTI RL) EN 0)

donnent lieu, toutes réductions faites, à la forme définitive suivante : (28) : 600.711 — 2 001 Yo1 + 011,900 + ce ANT

Cette transformée est surtout remarquable par ce fait qu'elle ne contient pas la constante m. Son caractère projectif est d’ailleurs en évidence, car l’ensemble des trois premiers termes, pour deux fonctions homogènes quelconques, est un covariant.

Prenons pour les deux variables n,, n, celles qui font acquérir à 8 la forme bicarrée (29) 0=n$—2Anênt+ ni

et dont le coefficient A a été donné précédemment [ n° 17, équat. (19) |: En tenant compte d’une des relations d’homogénéité et posant, en outre,

(2m—1)(2m— 2) mn

; Fa (2 GA EE)

nous mettons l'équation (28) sous la forme (30) n3Y1+ 2 nr

très propre à faire connaître les cas où y est un polynôme entier. Le degré de y étant (2m—1), ces cas PERNER avoir lieu si m est entier, ou moitié d’un enter.

23. Soit d’abord m entier, et supposons J = ang” +(2m—1)ani" 7m:

(2m—1i)(2m—2) MR RE ET TU 2 NOT 3ni +. , + om PE mi

En employant Je symbole des Dinant hs

CU PR PEAR PET EP Ê Por | on trouve, par l'identification des deux membres de (30), deux systèmes d'équations, distincts entre eux, contenant l’un les coefficients a d'indices pairs, l’autre ceux d'indices impairs; ce sont les suivants : P ) : P )

Y &o Dos; 2 HER 2 nn V Ci n- 1 Ga Ci 50 +2 AC!» 3 Ga + do; 4 Es { 2 v G4 m—1 dy == res dG Sp DAC (477 SN Gin a; se. 6. .… S..... ., 2m HR) Qn—5 V RUES 1 om = Lines Aom-2 + pans 3 dom-k + Gars “re 63 2 m—2 Su 2m RUE 2 m—2 —= SAGE A2m-2 + Care -3 Am; NS = 1 VO Ut OiEsids pe 3 Pa 3 2 VOS a Æ Cor ds HoACI 2 az + Cia, 5 de 5 " 3 VOS 1 5 Fe Crea; +—2AC!h 34; + Ci hs d3, Se se 0-6 5 see pee + 6° . 'oue te pts: slr in RAI US tie té es Lie ste vhs ee tes lets , 2n—3 oo m—-x 2 m—4 m VOS dam —3 = Lin-3 dom 1 FLAC 3 lm-3 + Ce Sin Et

2/1 D 1—3 VOS Aom-1—= C3 m3 AS m3:

Re VO MS

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 227

D’après la propriété C= C7, il est manifeste que ces deux systèmes se changent l’un dans l’autre si l’on échange ày, &om , entre EUX, Az EÙ Aom 3, A El Aam 5, +, Aom 9 EL &i. Par conséquent, la condition nécessaire et suffisante pour que l’un et l’autre système soient possibles s'exprime par une seule équation, qu'il-est inutile d'écrire ici sous forme de déterminant, et qui est du degré m par rapport au coefficient y. Cette équation satisfaité, on pourra prendre à volonté un coefficient pair et un coefficient impair. De là le résultat suivant :

St la constante y est choisie parmi les racines d’une certaine équation, dont le degré est m, l’équation (28) est satisfaite par un polynôme y contenant deux coefficients arbitraires a, b. Si 0 est mis sous la forme bicarrée (29), y peut s’écrire

J = ano/f(nê, 1?) + bn: f(n?, nè),

où f'est un polynôme entier homogène, du degré (m —1). Pour une telle valeur de y, l'équation (26), où la constante m a la même signification, s'intègre algébriquement.

24. On voit pour quelle raison je me suis cru autorisé à introduire ici cette digression concernant l’équation (26). En permutant les n, on aura quatre solutions y dont le produit symétrique sera une foncuon entière de æ; par conséquent, nous obtenons une classe d’équations pour chacune desquelles le produit de quatre solutions est un polynôme entier, et qui pourraient être intégrées par l'application des procédés généraux exposés dans ce mémoire. LS

Dans le cas qui nous occupe, l'équation (25) admet pour solution générale un faisceau de polynômes entiers en £, du degré (2m —1). D’après le coefficient du second terme, la jacobienne de ce faisceau est y?” !; par conséquent, le problème consistant à déterminer x et qui se résout, comme on l’a vu, par une équation du degré m, coïncide avec ce problème de pure algèbre : Étant donnée une forme biquadratique, trouver un faisceau de formes de degré impair (2m --1), admettant pour jacobienne la puissance (m —1)""" de la forme biquadratique.

M. Cyparissos Stephanos a consacré un mémoire d’une haute im-

portance (1) au problème général consistant à chercher les faisceaux qui ont une Jjacobienne donnée. Il s’agit ici d’un cas partücuhier de ce problème. Ce savant géomètre a fait savoir que, sû une forme.y appartient à un faisceau ayant O pour jacobienne, le covariant

est divisible par y. Par l'équation (28) nous avons obtenu une proposition analogue coïncidant avec la précédente pour le cas m — 2, à savoir : Sc la forme y, de degré impair (2m —1), appartient à un faisceau ayant pour jäacobienne la puissance (m—1)"" d’une forme biquadratique À, le covariant WooYr1 — 20o1Yo1 + 1100 reproduit la forme y, et réciproquement.

25. Il nous suffira d'appliquer les équations du n° 23 à un exemple,

le plus simple, m — 2.

Ÿ A = Go, 3v @o = 2ÂÀ & + &o,

3V2— 2AvV—1—=0,

LAN MEL Rare To rt = Ty, DIE A? + 3.

Remplaçant L par l'expression qui résulte de (22) et À par celle qui

résulte de (19), nous aurons

Envisageant la forme biquadratique n4 Ÿ (2) » nous voyons figurer ic1, sous le radical, son invariant quadratique, et nous pouvons conclure en toute généralité que, Ü étant un polynôme du quatrième degré, et y une forme cubique appartenant à un faisceau dont 8 est

la jacobienne, on a

en | 060.Y11 — 2 0o1,Yo1 + 011.Y00 = 1e

formule dans laquelle l'est l’invariant quadratique de 4. Ce résultat s'accorde avec ce qu'on savait déjà sur ce sujet (2

(!) Mémoire sur les faisceaux de formes binaires ayant une même jacobienne (Savants étrangers, t. XXVIT).

(2?) Voir, par exemple, le mémoire cité de M. Stéphanos, p. 4o et 43.

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 229

26. Jai encore à examiner les cas où, dans (30), y est un polynôme entier, quand m est la moitié d’un entier impair. Mettant 2x au lieu de (2m—1), supposons

a2n(2n—1) AE © Qt 0} +. + Ann?"

J = dont + 2nainÿ" tn + On trouve ici, comme pour le cas précédent, deux systèmes disuncts contenant l’un les coefficients pairs, l’autre les coefficients impairs. Mais ces deux systèmes diffèrent entre eux. Pour abréger, J omets de les écrire : ils suivent la même loi que dans le cas précédent, mais la différence porte sur les équations extrêmes. Ici l’on pourra trouver la constante de manière à rendre possible seulement un des deux systèmes au choix; l’autre n'aura pour solution qu’un ensemble de coefficients nuls. Chacun des deux systèmes présente une symétrie par rapport aux coefficients également distants des extrêmes, en sorte que l’équation relative au coefficient y se décompose. Voici finalement le résultat :

L'équation (28) admet pour solution y un polynôme entier et homogène de degré pair 2n, si la constante x est une racine d’une

4 G 9 , quelconque de quatre équations, dont trois sont du degré - $ 2

ER Ê en A , I où —— suivant la parité de n, la quatrième du degré = +1

Si 4 est mis sous la forme biquadratique (29), les formes de y sont les suivantes, où T,(a, b) désigne une fonction homogène, de degré s en a, b et symétrique par rapport à ces lettres.

AE 3 5 She h 22 AT

1° n pair. — Siu est racine de l'équation de degré Rte

DAS Tr(n, ni).

Siuest racine d’une des trois autres équations, y a l’une des formes suivantes, dont chacune est relative à une équation

r=(ni—1?)Tr1(n6, nf), F=nont Triés ni); Y = 1No01(n$—1N1)Tn-2(n8, ni).

2 n impair. — La quatrième forme correspond à la racine de

(2 . 2 nn — . . { .

l'équation du degré Les trois autres aux racines des trois

autres équations. « La constante pb. étant ainsi choisie, l’équation (26), où l’on rem-

place (2m — 1) par 2n, a une solution particulière algébrique.

27. Appliqués à l'exemple n —1, les calculs que je viens d'indi- quer donnent facilement le résultat que VOICI : l'équation

L2 L L2 « LS et LA 9 a pour solution particulière y — Vr— x si l’on prend

LE M (dx 2).

La permutation des racines donne les deux autres cas; le quatrième

ds S n — I n'existe pas à cause de

Pour n — 2, voici le résultat : l'équation | Fu. I le f 1 L/4 ARR AO met doi

a pour solution particulière y = VC — x)(T

), si l’on prend

= À (2 r'—7—7); par permutation on a deux autres cas; enfin, si l’on prend 2u=æ+44— 4,4,, on aura la solution Pour QE VUE Vo e Yo.

Lo 28. L’équation (26), qui, si l’on y remplace (2m—1) par 2n, s'écrit

1 Ts n(n +1 7 vy +ivr + [re D p'| 7 = 0,

n’est, en réalité, pas autre chose que l’équation de Lamé. Que l’on y

fasse ne GE on = Sn,

et qu’on prenne & pour variable indépendante, on obtiendra la trans-

formée Je2

d? , 2 = [nçn + rat sut u + iv],

du?

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 231

ou encore, si l’on fait

V(x)= 4m gi —gs, x=pu:

d2 , Te =[n(n+i)pu—kn]y.

Les cas dont nous nous sommes’occupé en dernier lieu, ceux où 7 est un nombre entier, sont précisément ceux qu’a considérés Lamé. La méthode employée ici est très différente de celle qu'a employée Lamé, et ne conduit pas moins à la même conclusion, relativement à

l’existence de quatre équations distinctes pour l’inconnue u (!). Quant

au cas précédent, celui où m est entier, c’est-à-dire où n» est la moitié d’un entier impair, la conclusion, nous l’avons vu, consiste en ce qu'on peut déterminer & comme racine d’une équation de degré

(a+) de sorte que la on générale de (26) soit algébrique. Pour l’équation de Lamé, cette conclusion se transforme en ceci : la : . E , " . [ HNSSU Son À .

solution générale est le produit de (p ) par un polynôme entier,

Nr - (72 ° PR & :

du degré 2n, par rapport à pe J'avais déjà formulé cette conclusion

et donné la transformée (25) dans d’autres occasions (2). Antérieurement, M. Brioschi avait fait connaître une première indication sur ce sujet (*), et conclu nettement plus tard (*). M. Appell a traité

aussi le cas n — È (5). Les géomètres verront avec plaisir, je pense,

dans l’analyse actuelle, la réunion de ces deux cas de l’équation de Lamé, en apparence si différents, et qui viennent coïncider avec ce problème algébrique : 0 étant une forme biquadratique binaire, trouver une autré forme y telle que le covartant

: 000711 — 2 091 Yoi + 011,900 reproduise y.

(!) Mémoire sur l’équilibre des températures, dans un ellipsoïide à trois axes inégaux (Journ. de Math., 1'° série, t. IV, p. 141).

(2?) Sur les invariants des équations différentielles linéaires du quatrième ordre (Acta mathematica, t. III, p. 379); et Mémoire sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes inteégrables (Savants étrangers, t. XXVIIT, p. 105). [ Œuvres d’Halphen, t. IX, p. 11 et p. 95.]

(*) Comptes rendus, t. 86, p. 315. [ Brioschi, Opere Mathematiche, t. 4, p.414.]

(*) Zbid., t. XCI, p. 319. [| Brioschi, Opere Mathematiche, t. 5, p. 1.]

(%}- Zbidz t= XCH-p./r007.

29. On pourrait vouloir poursuivre la série de ces recherches, et demander d'intégrer une équation du second ordre connaissant le produit de cinq, ou six, ou un nombre quelconque de solutions. Les formes de degré impair, à partir du cinquième inclusivement, ont des covariants linéaires rationnels. Donc en général, le produit d’un nombre impair de solutions étant connu, l’équation s’intègre algébriquement et rationnellement, ce qui constitue une différence essentelle avec le cas où il s'agit de trois solutions seulement. Pour rencontrer des circonstances différentes, il faudra recourir aux formes binaires éxceptionnelles, dont les covariants linéaires rationnels sont identiquement nuls. .

De même, pour lés formes de degré pair, à partir du sixième inclusivement, il existe des covariants quadratiques rationnels, et, par suite, des covariants linéaires dont l’irrationalité est seulement du

second degré. Par suite, en général, le produit connu d’un nombre

pair de solutions conduit à l'intégration par l’extraction d’une racine carrée. Les formes binaires exceptionnelles dont les covariants quadratiques sont nuls fourniront seules des exemples contradictoires.

Si l’on voulait épuiser le sujet en suivant cette voie, on retrouverait les formes polyédriques dont l'intervention est déjà bien connue dans la théorie des équations linéaires du second ordre. Mais je n'ai pas l'intention d’y revenir ici, et je vais aborder l'application de ma théorie générale aux équations du troisième ordre.