III. — ÉQUATIONS DU TROISIÈME ORDRE

MULTIPLICATEURS QUADRATIQUES.

30. Laissant de côté, comme Je l’ai déjà dit, les formes quadratiques, nous rencontrerons pour premier problème, dans les équations du troisième ordre, celui-ci : Zntégrer une équation linéaire du troisième ordre, connaissant, en fonction de la variable indépendante, l'expression d’une forme cubique ternaire composée avec trois solutions inconnues. -

Le principe de la solution peut se résumer ainsi : Calculer pour l’égüation adjointe l'intégrale qui a pour source la fonction donnée, et réduire cette intégrale, forme cubique ternaire, à la

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 233 “=

forme canonique. Les covartants linéaires canoniques fournissent unmédiatement les solutions cherchées. |

Cette solution est ainsi basée sur une des théories algébriques les plus parfaites que nous possédions, celle des formes cubiques ternaires. Il s’agit ici de la dégager explicitement pour la réduire en formules susceptibles d'applications immédiates.

Au lieu des intégrales cubiques, je considérerai les multiplicateurs quadratiques correspondants, ce qui est plus simple. J'ai indiqué (n° 12) le procédé général pour trouver les équations déterminant un multiplicateur. Il est fondé sur la réduction des produits œyy'ylt..., où est une fonction quelconque de la variable indépendante. Les formules ‘de cette réduction pour les produits cubiques ternaires sont les suivantes :

I I DA ne + sm), = w) 2 LA Ex : . D] L LAPS: cu ! L 14 a ŒYÉT. FRS RTS DE + ARE el L , I " ll ! " HAN MES @yi+ 3 p'yy2— = @"y3 + (wrr — Wmyy?— Pr su ; 9 æ (31) :

D yYy' y" — : »n7!3 NT 12 MS ToNt SLT, 2 dt DRE no un) Jes ,: ait (LES ) 13 5 rl 13 L M. 19 ; PET I 13 I FR 19 É EMI TRE JV N es A DAeste MIRE DA PP FAT nie FY ; | « :

5 1 FE [ ' a I "à LA ER APN IS AE

Parmi les produits qu’on aura à considérer ici, ceux qui ne figurent pas dans les six équations immédiatement s’en déduisent par un chansement des accents. Par exemple, pour réduire wy/?27”, on n’a qu’à changer y en y’ et, par suite, y/ en y”, y” en ?” dans la seconde formule.

La forme linéaire G(y) et le multiplicateur quadratique M(Y) élant représentés par |

G(Y)= 807, + 3817 "+ 3817 +839; Me DE GENE SN PE ST PE LM IN

nous effectuons le produit MG; nous réduisons tous les termes suivant les formules précédentes, et nous égalons à zéro les coefficients des termes irréductibles, c’est-à-dire fournis par la première partie

des seconds membres de (31). Ceci, nous l'avons vu (n° 12), doit fournir six équations différentielles pour les coefficients de M. Voici ces équations (en face et à gauche de chacune d'elles, J'ai indiqué la quantité irréductible dont on a égalé à zéro le coefficient) :

1J"® | 380h+(80P)—981p = 0, PS gol+(goh)—68gh+286g —382p —=0, YY"? | 28om+{(8ol) —681l— gp =0, 5 Rive | p% | gor+a(gum)—3gim—3gl

— 2(81h)—gih+ (809) — (819) + 3829 — 0,

VPN SE oN) 68 ir Son) ee (ram) + 6gam—3(gal) — 4g3l—(gsh) + g3q =0, LYS (gor)"— 3(gir) +3 (gar) — 3gsr +a(gam) —92(g3l} = 0.

De ces six équations, les quatre premières donnent explicitement h, l, m, r en fonction linéaire de p, gq et des dérivées de p, g. En substuant dans les deux dernières, on aura deux équations linéaires simultanées aux inconnues p, g. L’élimination de q entre ces dernières conduirait à l’équation finale en p, qui est du dixième ordre : c'est l'équation aux cubes (multipliés par g$) des solutions de l’adjointe F(n) —o. Généralement, par le moyen des deux dernières équations, on pourra exprimer g en fonction linéaire de p et de ses dérivées. Suivant l'hypothèse, on connaît p; donc par là on peut trouver le multiplicateur explicitement.

31. Nous savons que le cas d'exception est celui où l’équation en p est d'ordre inférieur à 10. Il importe de reconnaître comment le calcul mettra ce cas en évidence. Mais, pour ce but, je vais faire d’abord une simplification.

J'ai pris G sous la forme complète, afin d’avoir immédiatement les éléments les plus commodes pour les applications, où tout changement est d'habitude fort gênant. Mais, pour une théorie générale, cet avantage disparaît, et l’on n’a que l'inconvénient d’allonger les calculs. Pour faire l'élimination, je supposerai donc 25 —=1, g, = 0. La première hypothèse est évidemment permise, la seconde implique seulement un changement de y en 4y,« étant une fonction convenablement choisie. Ce changement, fait dans G et dans M, n’altère pas la