D = IL

Les équations qui résultent de ce calcul sont les suivantes :

(33) Qi Seig + (Sert Le)g a, 2 10 ,

provenant respectivement de la sixième et de la cinquième équation.

32. Ici déjà s'offre un premier cas particulier, celui où # est identiquement nul. On le voit, en ce cas, l'équation finale en p se réduit à B = 0, qui est seulement du septième ordre, et g ne peut être trouvé, en fonction de p, que par l’équation (33), du troisième ordre. Ce dernier fait est la conséquence du précédent. Trois relations cubiques homogènes, à coefficients constants, linéairement distinctes entre elles, ont lieu entre les n. Donc, de toute nécessité. 1l existe entre ces quantités une relation quadratique homogène, à coefficients constants. C’est bien, en effet, là ce que signifie légalité e — 0, et est cet invariant qui, pour la première fois, a été signalé par M. Laguerre (!). L’équation (33), d’où dépend g, coïncide avec les proposées G(y)—=o, F(x)—o, (qui, en ce cas, coïncident entre elles sauf le second membre À. Il y a donc lieu de revenir à la proposée, qui se ramène à

(!) Comptes rendus, t. 88, p. 116 et 224. [ Œuvres de Laguerre, t. 1, p. 421.]

l'équation du second ordre

" 3 3° + Pete

En effet, on prouve aisément que les solutions n sont les produits de deux solutions 3 entre elles. Le problème proposé, en ce cas particulier, consiste donc à intégrer cette équation du second ordre, quand on connaît le produit de six solutions, et nous n’avons plus à nous en occuper. |

33. Supposant désormais # différent de zéro, nous pouvons, par deux dérivauons, réduire le système (33), (34) à ne contenir que q et g'. Dans ce calcul s’introduit une nouvelle combinaison à :

d— 278202+ 70 2— Gyy”,

qui est un invariant fondamental, fournissant avec 6 tous les autres invariants. Voici le résultat de ce calcul :

\ 3 7 : É (35) [28 dv'— de PO —pt)g D)

6 2 + (an e208 + 406 De ee ct6")g =D.

Le second cas particulier s'offre maintenant : c’est celui où le déterminant des coefficients de g et g' est nul. En introduisant les deux invariants à, et Ô ÿ

Ê1= 300 — 8 dv’, 0 — 200, — 30,0,

on trouve ce déterminant sous la forme

SE d TS RU: : 5 (36) 0 F0 — PI, — — pT+ — LG 168 |

Il faut observer que (75 163) est divisible par +, en sorte que J

Q est une fonction entière des coefficients »,, g, et de leurs dérivées. L'égalité Q — o exprime qu'entre les n il existe une relation cubique, homogène, à coefficients constants. Si elle a lieu, g se trouve donné par une seule des équations (35), à volonté, et le multiplicateur se

ds . hs

ne dt de: 27 né

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 237

trouvera par le moyen d’une quadrature. Dans le cas opposé, les équations (35) simultanées donnent explicitement q, et le multiplicateur sera trouvé sans quadrature. Arrêtons-nous un instant sur l’équaüon Q — 0. Elle présente cette circonstance qu’exprimant une propriété de F(n)—o, elle contient les coefficients de ladjointe G(y) = 0. Mais la théorie des invariants, à laquelle je renvoie (!), nous enseigne que les invariants d, #, 0, 0 sont communs aux deux équations, sauf changement de signe pour les trois derniers seulement. Il n’y a donc qu’à effectuer ce changement ici. De plus, j'ai annoncé que, le calcul fait, je rétablirais les coefficients 25, £,. Effecuüvement, renvoyant le lecteur à la même théorie, j’énonce le résultat

Ayant posé Sr J PSN à rer ee INT S2 D S1 #1 ET ST So 1 A 0 50 5 0 £0

1° on exprime que trois solutions y de G(y) = 0 sont liées par une relation cubique, homogène, à coefficients constants, au moyen de la relation |

>° par la relation Q — 0, où Q est l'expression (36), on exprime que la méme propriété a lieu pour l’équation adjointe F(n) = 0.

Quand on emploie, comme Je l'ai fait déjà, la notion de courbe attachée à l'équation, c’est-à-dire lieu du point dont les coordonnées homogènes dans le plan sont trois solutions y, alors Q; — o exprime que cette courbe est du troisième degré, Q — 0 exprime qu'elle est de troisième classe. Ce sont, à un autre point de vue, les équations différentielles des courbes, soit du troisième degré, soit de la troisième classe, de même que ? — o est l’équation différentielle des coniques.

(:) Voir mon mémoire sur la Réduction des équations différentielles, déjà cité, chap. INT. [Œuvres d’Halphen, t. HE, p. 101.]

34. Revenons au multiplicateur M, qui peut maintenant être envisagé comme étant Connu, sa source p étant donnée.

D'après le théorème IF, (n° 9), un invariant de uw? 9, M, du degré m par rapport aux coefficients, est de la forme w”g,p', où p! est le premier coefficient d'un multiplicateur M’ du degré (m — 1). Comme M est quadratique, le seul invariant est le discriminant, et l'on am — 5. Donc le discriminant de u?g,M est le premier coefficient de u909M', M' étant un autre multiplicateur quadratique. K serait inutile de chercher un nouveau multiplicateur par le moyen du discriminant de uw? 99 M'; car toute forme du faisceau u? 95(4M + 1M') a pour discriminant une fonction appartenant au faisceau u3go(xp—+ pl); ilest, par conséquent, la source d’un multiplicateur appartenant au faisceau xM + \M'. En effet, F étant l’intégrale cubique qui correspond à M, le hessien de uF a la forme u?F", où F' est une nouvelle intégrale cubique. C’est la conséquence du théorème I (n° 8). Il suffit de jeter les yeux sur le hessien d’une forme cubique pour reconnaitre que M' est le multiplicateur correspondant à F’. La proposition résulte alors de ce fait connu que, dans le faisceau composé d’une forme cubique ternaire et de sa hessienne, chaque forme a pour hessienne une forme du faisceau.

C’est précisément sur cette propriété qu'est fondée la réduction des formes cubiques ternaires. On cherche, dans le faisceau, une forme qui coïncide avec sa hessienne; elle est décomposable en facteurs linéaires, qui sont les covariants linéaires de la forme canonique. Cette recherche pourra se faire sur les multiplicateurs; on cherchera dans le faisceau u? 2,(xM-+2ÀM'), une forme dont le discriminant soit u°2,(xp + Àp'), et la solution s’ensuivra. Nous voyons toutefois cette solution tomber en défaut si ce multiplicateur cherché est justement M. Traitons d’abord ce cas particulier, qui exigera des quadratures.