PRODUIT DE TROIS SOLUTIONS

30. On sera averti qu’on est en présence de ce cas particulier si l’on sait d’avance que la fonction donnée est le produit de trois solutions. Si, au contraire, on connaît l’expression d’une forme cubique composée avec trois solutions, sans savoir que cette forme est le produit de trois facteurs linéaires, on s’en apercevra par cette circonstance que le

PT Rs T0 24 net LRAET VD, ‘7e 1... HMS AT ST LA ÿ Dr + à :

SUR UN PROBLÈME CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 239

diseriminant de us #5 M reproduira uw? #,p (à un facteur constant près). Notons que la même circonstance se présente encore dans le cas que caractérise l'équation Q — 0, si p n’est pas nul. En effet, en ce cas, 1l existe un multiplicateur à source zéro, par suite une infinité de multiplicateurs ayant une même source. Mais le calcul du multiplicateur, comme on l’a vu plus haut, fait nécessairement reconnaître ce cas, lorsqu'il a lieu, et nous n’avons pas à insister sur ce point.

La méthode à suivre est analogue à celle du n° 13. L'intégrale F étant le produit de trois intégrales linéaires B, 1l suffit de considérer, dans F, les termes en y” et y’; soit donc

F=uy"+3uy"?y +3@ÿ"y?+a3yi+..., on considérera l'équation

I JE dx

pour en conclure la solution

Les coefficients &,, &,, 4: Sont connus immédiatement par le multiplicateur; quant à 43, 1l se conclut aisément de la partie qui, dans les formules (31), est composée de dérivées exactes. Le multiplicateur

étant M=py"?+2hy'y"+qy?+...,

on a, en définitive,

I I I HS 80) M= 780, A3 60 7

APPLICATION