TRAVAUX SCIENTIFIQUES
DE
AVAJNT-PROPOS.
Les Memoires dont on vient de lire la liste peuvent se diviser en deux classes.
Les Travaux anterieurs a i(S9<S concernent a la fois l'Analyse et la Geometrie et traitent principalement de la theorie des courbes et surfaces algebriques : quelques-uns stmt consacres a 1'Analyse ou a la Geometrie pures; les autres derivent en general d'un principe commun, celui de ['application au domaine geometrique des proprietes analytiques des fonctions. On sait, par exemple, quelle lumiere a jetee, sur la nature des courbes de genre un, leur liaison intime avec les functions elliptiques; cette belle decouverte de Clebsch m'a sans cesse servi de modele, et j'ai pu ainsi, pour l'etude des courbes et des surfaces, employer non seulement les fonctions elliptiques, mais les fonctions fuchsiennes et thetafuchsiennes de M. Poincare, les fonctions abe-
(•) Nous reproduisons ici, en supprimant quelques passages relatifs au but precis (candidature a la chaire du College de France) en vue duquel elle fut ecrite, la Notice sur ses travaux redigee par G. Humbert en 1912. Seuls s'y 'rouvent done resumes les Memoires anterieurs a cette date. (Note des Editeurs.)
CEUVHES DE C. I1UMUEHT, T. 1. 2
OKUVRES I)E GEORGES HUMBERT.
liennes de deux et de trois variables, les fonctions hyperabeliennes de M. Picard.
Au cours de ces recherches, j'ai eu la bonne fortune, sur des sujets deja abordes avant moi, de rencontrer des propositions nouvelles, d'un enonce simple et frappant, dont quelques-unes etaient assez cachees : on me permettra de citer, en particulier, les theoremes sur les aires spheriques et ellipsoidales, qui etendent a la sphere et a l'ellipsoide des proprietes fondamentales du cercleetde l'ellipse, ceux qui se rattachent aux arcs de conrbes, a la surface de Kummer et a certaines surfaces algebriques.
A partir de 1898, mes etudes ont porte sur les fonctions abeliennes singulieres ou ordinaires et sur certaines questions d'Arithmetique.
Les fonctions abeliennes singulieres etaient restees pour ainsi dire ignorees jusqu'a mes premieres recherches : elles se presentaient cependant bien naturellement dans les theories generates de la transformation et de la multiplication complexe; mais en abordant ces deux questions, meme dans des traites speciaux etendus, les geometres supposaient toujours implicitement que les seules transformations possibles etaient celles qu'Hermite avait deeouvertes en i856, et ils laissaient ainsi de cote un champ aussi vaste que fecond.
J'ai done defini les fonctions abeliennes singulieres de deux variables par une relation quadratique entre les periodes; j'ai etudie, avec les fonctions intermediaires qui s'y rattachent, leurs transformations et leurs multiplications complexes, edifiant ainsi toute une theorie, qui remplit trois Memoires etendus, publies de 1899 a 1901 au Journal de Maihematiques. Ces recherches n'ontpasete sans interet geometrique; elles m'ont donne, par exemple, les premieres surfaces hyperabeliennes explicitement determinees, et de curieuses surfaces hyperelliptiques du quatrieme ordre, dont une a quinze points doubles.
Les fonctions abeliennes singulieres m'ont conduit egalement a des consequences arithmetiques; je signalerai, en particulier, une interessante representation geometrique des nombres entiers et des formes quadratiques binaires, dans laquelle la surface associee a un nombre contient la courbe associee a une forme lorsque la forme represente le nombre, et inversement.
Enfin, a l'occasion d'un Cours professe au College de France, j'ai ete ainene a approfondir la methode par laquelle Hermite rattache, a des
NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIENTIFtOUES TIE GEORGES HUMBERT. I I
developpements trigonometriques de certains quotients de fonctions theta elliptiques, les formules classiques de Krnnecker sur les nombres de classes; j'ai, par cette voie, obtenu des formules du meme genre, ou figurent, a cote des nombres de classes, les minima de ces classes; combinant la methode d'Hermite avec la transformation du troisieme ordre, j'ai retrouve et etendu les relations arithmetiques que les geometres allemands ont deduites de la multiplication complexe de la fonction modulaire liee au tetraedre.
Le resume qui va suivre, ordonne d'apres les questions traitees, est divise en six sections :
i° Courbes algebriques; ,
20 Theoreme d'Abel et applications geometriques de ce theoreme; 3° Surfaces algebriques ;
4° Fonctions abeliennes et surfaces hyperelliptiques; 5° Theorie des nombres; 6° Travaux divers.
Les travaux de la seconde section auraient pa se repartir entre les autres, mais ils forment un tout si homogene qu'il m'a paru preferable de les grouper.
oeuvres he oeoroes Humbert.
