I. — Courbes de genre quelconque
I . M. Poincare, dans un Travail celebre, a etabli qu'on peut exprimer les coordonnees d'un point d'une courbe algebrique en fbnclion fuchsienne d'un parametre; c'est ce resultat capital qui ni'a servi de point de depart, pour l'etude geometrique des courbe9 planes, dans le Memoire 1.
En introduisant les fonctions thetafuchsiennes, je retrouve, au point de vue transcendant, les tbeoremes de MM. Nother et Brill, relatifs it la Geometric, sur une courbe, et j'en demontre de nouveaux; je traite, en particulier, de l'intersection de la courbe fondamenlale avec une courbe nonadjointe, et, comme consequence, du probleme des courbes de contact , c'est-a-dire des courbes qui ont, avec la proposee, un contact d'ordre donne en tous leurs points de rencontre avec elle : cette question n'avait pas encore recu de solution geometrique generale. Grace a l'ernploi des fonctions fuchsiennes j'ai pu combler la lacune, lorsque la courbe proposee n'a comme singularites que des points doubles; voici les principaux resultats de cette theorie :
La famille des courbes d'ordre donne m, qui passent park points doubles et k' points simples donnes sur une courbe de genre p, a d points doubles, et qui ont avec cette courbe, en chacun des autres points de rencontre, un contact d'ordre r — i, se subdivisc en r2p systemes.
Chaque systeme comprend lui-mSme rrf* groupes de courbes ; le premier membre de 1' equation des courbes d^un meme groupe est un polynome d'ordre r par rapport aux parametres demeure's arbilraires.
NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIENTIFIQUES T)E GEORfiES HUMBERT. 1 3
Les systemes de points de contact jouissent de proprietes importantes ; ainsi :
Toute courbe d'ordre m, menee par les k points doubles, les k' points simples donnes, et par les points de contact de r — i courbes de la famille precedente, coupe en outre la proposee en de nouvcaux points qui sont les points de contact d'une autre courbe de la famille ; le sysleme el le groupe auxquels appartienl cette derniere courbe de contact restent fixes, quand les systemes et les groupe s auquels appartiennent les r — l premieres restent fixes eux-memes.
2. Un cas particulier interessant est celui ou l'equation generale des courbes de contact d'un meme groupe ne renferme qu'un parametre arbitraire qui, d'apres la theorie precedents, y figure au degre /•; dans ce cas :
Par un point du plan passent r courbes du groupe; leurs points de contact et les points fixes sont sur une courbe de meme ordre que j'appelle courbe polaire du point considere; inversement, ce point est dit pole de sa courbe polaire. Si la courbe polaire d'un point P passe par un point P', la courbe polaire de V passe par P.
Lorsque r est impair, toute courbe polaire passe par son pole.
Les applications de ces principes aux courbes des quatrieme et cinquieme degres conduisent a des resultats simples et rectifient, en particulier, deux resultats de geometric enumerative de Clebsch.
3. Un Chapitre du Memoire est consacre aux courbes hyperelliptiques; je montre, en particulier, que :
Les droites qui joignent les couples de points conjugues sur une courbe hyperelliptique generale, d'ordre n et de genre p, enveloppent une courbe unicursale de classe n — p — i, d'ordre 2(71 — p — 2), qui touche la proposee en 3n — zp — 6 points.
4. La theorie des fonctions fuchsiennes m'a egalement servi, dans le Memoire 2, a etablir une proposition analogue a un theoreme enumeratif bien connu de l'amiral de Jonquieres :
Parmi les surfaces d'ordre n appartenant a un sysleme lineaire p — 1
fois infini, le nombre de celles qui ont, en un point, avec une courbe plane ou gauche de degre m el de genre p, un contact d^ordre p — i , est egal amnp-h p(p — i)(p - i).
