Exemple. — Soient n — 4, r = 1, p
Les coniques tangentes en qualve points a unecourbe du qualrieme degre a deux points doubles forment quatre systemes; pour les courbes d'un systeme, la somme des arguments des quatre points de contact est la meme et a l'une des valeurs
w , CO ,
O, — , 2CO , h 2C0 .
Les courbes de c/iacun des trois derniers systemes forment quatre groupes, et l'equation generale des courbes d'un groupe est de la forme
<x\ A -+- 2cc, oc2 B 4-. ot|C == o,
a, et a, etant des cOnstantes arbitrages.
Lcs coniques du premier systeme comprennent toutes les droites du plan,
SUH LES COUHHES DE flENUE UN. 12 J
comptees deux fois, et un groupe de coniques dont V equation generate est de la forme precedente.
Go. Revenons maintenant au cas general et considerons l'equation generale des courbes de l'un des groupes definis au n°61
o —f(xu x,, x:i) — a\ A,.i0,o,...,o + /•«!"' a, Ar M>0)... -+-. . . -+- a/s+*, A0.a,. „o,r-
On a trouve
= «K0 E *i 9i C 0' + : ■ • + «/-§+*, T/-5+A-, ( 0 ]*"= ^ CO ?r( 0-
Quelles que soient les constantcs a,, a,, les relations (45) sont verifiees : on a ainsi
Les entiers A,, A,, Ag ti ont les memes valeurs pour les courbes d'un meme groupe.
Considerons r courbes du groupe (A,, A2, ...), et soient
les fonctions /(*) correspondant a chacune de ces courbes. Si Ton pose
F(0 — <K0 9(0f(l,(0 ?(2,(0 • • • ?(r)(0> on aura, en tenant compte de (47)>
et, par suite, les m« points de S dont les arguments veritient l'equation Y(t) = o, et ont evidemment pour somme — (co -+- noi') (n° 61 ),
sont situes sur une courbe de degrem (n° 47). Ainsi :
Z-w points de contact avec S de r courbes dc degre m du meme groupe,
les hi points simples el les /.-, points doubles donne's sur S, sont sur une courbe de degre m ( 1 ).
66. L'equation de cette dernicre courbe est facile a former. Soient, en efTet,
/0,(0 = <K0 [«.?.(/) + «:> ?*(') + • • .+ «/-B+*, ft-B^l)]", **-•*, * * x -••••*• • . f
on a
F(0 = ^(0(«i<Pi + ---)((3i?i + - ••)•••(>•!?! + •• ■)■
En developpant le second membre et en y remplacant
<KO?i (0 par Ar>(>,o...oi
4/(0?r,(0?2(0 par A,.ljI>0>0...0)
on obtiendra le premier membre de l'equation cherchee, qui sera de la forme
o = a,|3j. . .X, A,.,0...o+ («2pi. ■ .li ■+- ai(32. . . + . . • + ai (3j. . . Xt)Ar-i,i,o...o + . • •
+ al— 8+/ , (3/— o+k, ■ • 8+A-, A0)o... <>,;■•
67. Clebsch a donne le nombre des courbes de degre n— 3 qui passent par k, points doubles donnes de S et qui touchent cette courbe en tous leurs autres points de rencontre avec elle (2).
11 resulte du theoreme general du n° 61 et de la remarque II, n° 62, que :
II y a 22, cest-d-dire quatre syslemes de telles courbes; la somme des arguments des points de contact est la meme pour les courbes d^un systeme.
Chaque systeme comprend 2c'~k,~i courbes; on a ainsi en tout 2&/,+1 courbes repondant a la question.
On voit, comme au n° 63, que ces resultats se modifient si kh est nul et si n — 3 est pair.
Soient
(') Clebsch, Journal de Crelle, t. 64, p. 2/(5. (2) Clebsch, Journal de Crelle, t. Gi, p. 246.
SUll LLS COUltBES I)E GEN HE CN.
Le systeme de courbes de degre 2p pour lesquelles la somme des arguments des points de contact est egale a ^(w + nw') ne comprendra que N, courbes proprement dites, etant pose
XT 8 . r (5 — l)(3— 2) (Q — l)(6-2) ...(>. + !)]
et
De plus, le systeme comprendra toutes les courbes de degre p, comptees deux fois,
Exemple. — Les coniques tangentes en cinq points a une courbe da cinquieme degre, a cinq points doubles, forment quatre systemes : trois d'enlre eux comprennent cfiacun seize coniques; le dernier systeme, pour lequel la somme des arguments des cinq points de contact est ^(co -+- 5co'), ne comprend que cinq coniques proprement dites. II comprend, en outre, toutes les droites clu plan, comptees deux fois.
Nous retrouverons, dans la III'' Partie, les cinq coniques dont on vient de demontrer l'existence.
68. Si la courbe S a des points de rebroussement, lesresultats precedents se modifient legerement [Clebsch (')]•
Supposons que les courbes de degre m que Ton considere passent par ki points doubles de S et que, parmi les o — k{ autres points doubles, il y ait R points de rebroussement, auxquels correspondent les arguments
ell e2l • • • 1 Sit-
La relation
/{e,) :<(e1) = /«) :<(<?',) doit etre remplacee (n° 52) par la suivante
/'(tf»)*t(«i) =
(') Journal de Crel/e, t. (i<i, |). 24 ">.
/' et x\ designant les derivees de/(<) et xt (t) par rapport a t. Or on a
/(0 = iKo («,?', + a, ?' + + )p= ^(0^(0 et, par suite,
J(V,)ne peut etre nul que si la courbe /(.a?,, x2, x3) = o passe par le point de rebroussement et, ce qu'on ne suppose pas; en egalant a zero la quantite entre crochets, on a une relation lineaire et homogene en a,, a,, y.t.
De meme pour les relations qui correspondent aux R — i autres rebroussements.
On en conclut que le nombre des groupes que comprend un systeme de courbes de degre m est
/•S~*'-R, si ri/t — i
et
inn— r (;n-H)(»i + 2;— ft,— R
r 2 , si r < n — 2.
69. Pour montrer le parti qu'on peut tirer de la theorie precedente, au point de vue des applications geometriques, nous allons traiter un cas particulier.
Eludier les courbes de degre (n — i), qui passent par tous les points doubles d une courbe S, de degre n, de genre un, et qui out avec cette courbe, en deux points, un contact d'ordre n — I .
On a
ki — S, /»2z=o, r = n, l—i.
Nous appellerons les courbes precedenles courbes A.
I. 11 y a n2 syslemes de courbes A; la fonction f(t), qui correspond aux courbes d'un meme systeme, est de la forme
f{t) = 0,0,(0 + «1?lJ(o]",
a, et a2 etant des constantes arbitral res, et l'equation generate des
SUn LES COUItBES DK GENRE UN. J 2 9
courbes du systeme sera
A(^!, xt, x3) — a?A„+ «a"i a2 A„, + . . . -+- a2lA0.
La courbe de degre n — i
passe par Ies points doubles de la courbe S, qu'elle coupe en 2n autres points, dont Ies arguments verifient 1'equation ,
Par suite, la courbe kn.k = o est la courbe de degre n — i, qui passe par Ies points doubles de S et qui a, avec cette courbe, un contact d'ordrcn — k — i aux deux points de contact de S et de Are= o, et un contact d'ordre k — i aux deux points de contact de S et de A0 = o.
