III. Applications
59. Les resultats analytiques obtenus anx paragraphes precedents permettent do traiter la question snivante :
Soit
p = mn = 1 kx -+- kf -\- rJi-\- . . . + rq
Trouver V equation gene/ ale des courbes, de degre m, qui passenl par k, points doubles et /,., points simples, donnes sur une courbe S, de degre n cl de genre un, et qui ont avec cette courbe en lj points, dont les arguments on l une somme donnee s,-, un contact d'ordre r.- — f (y = 1, 2, . . ., q).
Soient f(.xi,x.,,.x:i) = o 1'equation generate cherchee et f{t) la fonction /"[a?, (z), ...]. Cette fonction est fonction lineaire et hornogene de Kt(t), U2(t), Up(t) (n° 43), et peut se mettre sons la forme [equation (35)]
/ ( < ) = in [*i ?'■+•••+ «/, rt* Y' • • • [ «i °\ J>
v SUH L.ES COURBES DE GEMtE UN. I I f)
on, en developpant,
( % ) /( 0 = 2Ah.„, v v/(( *f «f • • • *i' • • • v v/f( <),
A^, ... (Hani une conslante;
[A,, u2, . . . des entiers non negatifs de somme r(, . . .; vn . . ., v/( des entiers non negatifs de somrne r?; a, , a2, . . ., S, , ... des constantes.
Mais ces dernieres constantes ne son! pas arbitrages, coinme retain) l les constantes analogues de l'equation generale (35); en effet, les rnn points de S, dont les argument^ annulent/(*), sont situes, par hypothese, snr une courbe, de degre m, passant par/.-, points doubles de S, et Ton aura, par suite, entre a,, o,, ... des relations de la forme
(40) («/) + ■ • •]''■ • • • : = Wt)i*KU}+>' Ces relations seront au nombre de
- n(n — 3 ) — kt si m±n — 2,
el de
inn — — (in i)(rn -+-2) — /., si in n — 2.
Si les quantites a,, a2, 0,, ... verifient les equations le second membre de l'equation ( J9) est une fonction lineaire et homogene des quantites x'^^x^^t)^"3^), (m, -+- m2-h ma = m), et Ton a
(41) /(<) = 2^"(0^"(0^'(02A^S y, y,„af.«^ . . . 0'|. . . . ajff,
a,, 0,, ... etant des constantes arbitrages, liees par les relations (4o ).
On tire de la l'equation generale cherehee, en remplacant, dans f(t), •r,(/), x.2(i), x3(t) par x,, x.2, x3, et egalant a zero la fonction ainsi obtenue.
Remarque. — Si /// est superieur ou egal a n, on devra ajouter a la onction f{pKi s>2, #.,), ainsi formee, le produit SR,„„, ou R,„„ designe un polynome quelconque, de degre m — n en r,, ae2, x3.
60. Dans le cas particulier oil la courbe, de degre m, passe par tous
OfcUVRES I1K CEOROES HUMBERT.
les points doubles de S, Ies relations (4o) sont des idcntites (n° 50), et les constantes a,, a2, . .., o,, ... sont arbitraires. Par consequent, l'equation generale cherchee sera donnee par (3q) :
Fjj, est un polynome de degre m, et la courbe = o
coupe S en des points dont les arguments verifient l'equation
o = ■*NLI.PL,.... (/) = <Mo?r,?iis • • • • • •
EUe passe par les &2 points simples donnes sur S et par les points doubles de cette courbe, puisque les arguments de ces points annulent
61. Nous allons maintenant appliquer a des exemples simples les principes generaux des deux derniers paragraphes.
Problem e. — Soit
inn — ikx -+- k2 -+- rl et m In — 2.
Trouver V equation generale des courbes de degre m, qui passenl par k, points doubles et k.2 points simples donnes sur S, et qui ont avec S en I points un contact d'ordre r — 1 .(* ).
Soient st la somme des arguments correspondant aux points fixes donnes sur S ; s celle des arguments des / points de contact. On a
+ rs — ■ — ( <•) -+- 11 co 4- // o) -+- nli r,) .
On tire de la pour s, en donnant aux entiers h et h' les valeurs o, i; . . ., r — 1, ;-2 systemes de valeurs, aux multiples pres de w, noy'. II y a done r2 systemes de courbes repondant a la question : pour les courbes d'un meme sysleme, la somme des arguments des / points de contact est la meme.
Soit
( 1 ) f-lebsch a traite (Journal de Crelle, t. (i4, p. -144 el suivantes) un probleme analogue, mais il n'a fait, que donner le nombre des courbes on systemes de combes repondant a la question sans s'occuper des equations gene>ales de ces courbes.
l'equation des courbes d'un systeme. On aura, equation (35), /( O = ( O [ «, ?', + a2 9'; + . . . + «, 9fy.
a,, . . qli sont des constantes liees par les o — k{ relations
f(ef) : xf(et) =f(e'() : (t^'i, 2, ...,5-/,,),
e,,^; ea>e'2' •••» es-/,' es-Ai etant les couples d'arguments correspondant aux o — k\ points doubles de S par lesquels ne passent pas les courbes de degre m considerees.
Posons
il vient
( 44 ) [ «i ?', ( «/) + • • • + «e ( et ) y = [a, 0\ {e>i)+... YK-
Les o — /r, relations (44) peuvent s'ecrire
2/„if
ht, h2, ... pouvant prendre les valeurs o, i. ...,/* — i.
En combinant ces valeurs, on aura, puisqu'il y a o — k, relations, /•°-Ai groupes d'equations lineaires et homogenes en a,, a,, et les solutions du probleme s'obtiendront en egalant a zero les S — k, premiers membres des B — k\ equations de Tun quclconque de ces groupes.
Considerons les equations d'un groupe : on en tirera la valeur de I — />-, des constantes a,, . . ., a, en fonction lineaire ethomogene des I — o -+- ks autres, et Ton aura ainsi
/(0. = 4'(0[*i?i(0'.+ «»<Ps(0 4-- ••+ a^S+/,,9/-S+*,(0]'"='MO?''(0^
a,, a2, a/8+i| etant des constantes quelconqucs.
En consequence, l'equation generale cherchee sera de la forme,
0 — J ( x\ ■> xl: xz) = a\ A,-,o,o,...,o + ,lX'i * a2 A.|— 1,1,0.. ..,0 + •••-+- «/— Ao,o, . . . ,0,/'»
Ar,0,o,...i • • • etant des polynomcs de degre m en xn x2, x3 qui, egales a zero, representent des courbes de degre m passant par les points
(EUVRFS 1)15 O. HUMBERT, T. 1. 1.6
OEfVHES 1)E GEOR.GES HUMBERT.
doubles et les k2 points simples donnes sur S; on a
On peut done enoncer les resultats suivants : So it pose
mn — 9, A-, + /. 2 -f- fl, mln — i.
Les courbes de degre m quipassent park, points doubles et k2 points simples donnes sur S, et qui out avec cette courbe en I points tin contact d'ordre r — i , se divisent en r'1 srstemrs : pour les courbes d\m mr/ne systeme la somme des arg uments des I points de contact est la meme.
Chaque systeme se divise en rf~*< groupes, el V equation generale des courbes dun meme groupe est de la forme
(46) o = a'{ A,., o,o,..., o+ raj-' a2 A,.,iMl... + • . . -t- a/ls+*, A0,o
a,, a2, . . ., a,g4.A.| elant des constanles arbilraires .
62. Remarque I. — Si m est superieur ou egal a n, on ajoutera au second membre de la relation (46) le produit SRm re, ou R„t n est un polynome quelconque de degre m — n en xt, x.2, a?4.
Remarque II. — Sim est inferieur a n — i, les equations (44) seront au nombre de mn — x- (m + i) (m -+- 2) — kt ; il y aura ainsi dans chaque
' mn [in -+- 1) (m + 2| — *,
systeme r 2 groupes de courbes.
En particulier, pour m — n — 3, ce nombre devient
63. Pour etablir les resultats precedents, nous avons admis que les relations (45), appartenant a un meme groupe, etaient lineairement independantes, et e'est evidemment le cas general. S'il en etait autrement, l'equation des courbes du groupe correspondant, tout en restant de la forme (46), renferme plus del— o-hk, constantes arbitraires.
Nous allons donner un exemple dc ce cas particulier.
Soient
kl=ki~o, m = rp,
p etant un entier positif.
On aura
mn = lr,- d'ou l=np.
ll sagit de trouver V equation generals des courbes de degre m(ourp), qui ont avec S ennp points un contact d'ordre p — i.
11 y a toujours r- systemes de courbes repondant a la question : considerons celui de ces systemes pour lequel la somme des arguments des np points de contact est egale a ^ ^^(a) -+-nco'),c'est-a-dire^(co -j-noi').
Les equations (45) s'ecriront
(<?i)+ at<f'i(el)+.. •] : *?(«i)=c r |>i<pi(ei) +•••]: [«i<?( (<?») + a2cp';(e2)+. . .] : ar?(e,)=e '■ [a^K) •+...]:
Ces equations sent au nombre de o, e'est-a-dire -n(n — 3). Considerons le grouped'equations (45 to) pour lequel on a
II est clair (n° 46) que les ~n(n — 3) equations ainsi considerees exprirnent que les pn zeros de la fonction
pc,cpj (0 -+-. . .
sont les arguments de pn points de S, situes sur une courbe de degre p.
En d'autres termes, les courbes de degre rp appartenant au groupe considere sont des courbes quelconques de degre p, comptees r fois; ce qui donne bien une solution de la question.
Mais, si p est inferieur a n — 2, il suffit que np — - (p -f- i)(p H- 2) des equations (45 bis), oil Ton a fait h, == h.2 = . . . = o, soient verifiees par les constantes a,, ...pour que les autres le soient egalement; et par suite, a tout groupe d'equations (45 bis), pour lequel
124 OEUVttES DE GEORGES HUMBERT.
des entiers // seront nuls, correspondront des courbes de degre p, eoniptees /• fois.
Pour eliminer ccs solutions, on ne devra considerer que lcs groupes d'equations (45 bis) oil np — -(p + i)(P ~+~ 2) ^es entiers ht, h.,, ... ne sont pas nuls a la fois; et Ton voit aisement que ces groupes sont au nombre de
0(6-,). q + 0 8-Al
etant pose, pour abreger,
l = HP— I (p + 0(P + 2)-
Ainsi, p etant inferieur a n — 2, le systeme de courbes de degre rp, pour lequel la somme des arguments des np points de contact est egale a — (w -+- nco'), se decompose en N groupes; l'equation generalc des
courbes d'un groupe est dela forme (46).
En outre, le systeme comprend toutes les courbes de degre p, comptees r fois.
Si p est egal ou superieurarc — 2, le nombre des groupes du systeme considere sera evidemment r° — 1.
