III. Courbes A passant par un point du plan
Soit (»•',, a/,, a^) un point du plan; on peut mener par ce point n courbes A d'un meme systeme; les valeurs de a, correspondant a ces n courbes, sont donnees par 1'equation
o = a"kn{x\, x\, x'3) + na"-lAn i(x\, ...)-+-...'+ A0(a?t, ••■)• Soient a, (3, ~k les n racines de cette equation.
CF.UVRES 1>E 0. IIUMUERT, T. I. 17
l3o OEUVUES DE GEOItGES HUMBERT.
La somme de Ieurs produits k a k etant
i .2. . .A- AB(a?',, a/,,
la courbe de degre n — i, qui passe par les points doubles de S et
les -in points de contact avec S des n courbes A menees par lc
point (x\, x\, x'i), aura pour equation
A'UA„ — nA'1An 1+ — i)k\ A„2 + . . .+ (— i)n A'„A0 = o,
etant pose
Le premier membre de l'equation de cette courbe ne change pas, ou
change designe, selon que n est pair ou impair, quand on permute xt,
. j j j oo .> , oo *j e t oc ^ , co ,j , et' .j •
Cela pose, appelons courbe polaired'un point la courbe de degre n — i qui passe par les points doubles de S et les in points de contact avec S des n courbes A d'un meme system e, menees par ce point. Ce point sera dit pule de sa courbe polaire.
On a ce theoreme :
Si la courbe polaire d'un point P passe par un point P', la courbe polaire de P' passe par P ;
et, par suite,
Les courbes polaires de tons les points dhine courbe polaire passent par le pole de cette courbe.
Les poles de toutes les courbes polaires passant par un point sont sur la courbe polaire de ce point.
Si n est impair, l'equation de la courbe polaire du point a,',, a?'a, x'3 peut s'ecrire
et, par suite,
Si n est impair, loute courbe polaire passe par son pole.
SUU LES COUltBES DE GENRE UN. 1 3 I
72. Ces resultats s'appliquent aux coniqucs osculatrices en deux points a une cubique plane. L'equation generate des coniques d'un systeme est de la forme
a3A3 + 3a2A2+ 3cc A, + A0= o,
a etant un parametre variable.
On demontre aisement les proprietes suivantes :
\. II y a neuf systemes de coniques biosculatrices a une cubique S; la droite qui joint les deux points de contact avec S des coniques d'un meme sy steme passe par un des neuf points d' inflexion. Soil I ce point.
II. Par un point quelconque A du plan passent trois coniques biosculatrices du meme sy steme; ces coniques ont un second point commun B, sur la droite A I ; les six points de contact de. ces trois coniques avec S sont sur une conique, que nous appellerons conique polaire du point A ; A sera dil pole de cette conique : il est clair que B est egalement un pole de la conique et que toute conique polaire a ainsi deux pdles.
