Si Ton pose, comme dans la premiere partie
Vj+l(l) = e3(t+J^, co, »'j (y = i,a, 3),
les coordonnees d'un point d'une courbe S, du quatrieme tlegre et de genre un, pourront se mettre sous la forme
X, = A,P,(0 -+-A2P2(0 + A,l»,(0 -f-At[\(0,
X2=B1Pl(0+.--,
ou, en posant
sous la forme
X, — a0 »0 + a, «i + «2 »■> + fl3 «j, X2 = b0u0 + . . .,
a0, ... etant des constantes.
X,, X2, X.t sont lineairement independants (sinon la courbe serait une droite); on pourra done resoudre les trois equations precedentcs par rapport a trois des fonctions ut, u2, u3, par exemple, et ecrire
iti — <*t X\ + <v>2X2 + W3X3 — X«0, Ui= u', X, + — pu0,
ll-i — W1X1+ — v«„.
Les fonctions de / : w,X, -+- oj2X2 -+- w3X3 ; co'( X, . . . ; to", X, 4- . • . sont lineairement independantes, sinon il y aurait une relation lineaire -
SUR LES COUIUiES DE GE>RE IN. I .) I
outre u0, u2, u3, c'est-a-dire entre P,, P,, P3, P4, ce que nous savons etre impossible. Nous designerons ces trois fonctions par xn x.2, x3 ; nous aurons ainsi
I Xx = (li -+- llt0,
(A) < x^ — ut + p. u0,
C'est la representation parametrique que nous utiliserons;
sont les coordonnees d'un point quelconque de la courbe S; A, p., v
designent des constantes.
RELATIONS DU SECOND DEtiRE.
95. Les trois fonctions du second degre : P^, P*, P2 P/(, out le meme poids (n° 12); elles sont done liees par nne relation de la forme
a,, ... etant des constantes.
Changeons ? ejj / ..-+■ [1 vient
«,Pj+(3,P? +7lP;P:i^O,
d'ou
ce qui entraine
On a, par suite, entre les trois fonctions considerees la relation
et, changeant t en t -t- ~» il vient
P* + Pf = 2aP,P3,
a etant une constante. Remplacant, dans ces relations, les fonctions P par les fontions u, on a
"o f ul «(-'«! — "D,
96. Cela pose, tirons des equations (A) les valeurs de uK , u.,, u3, en fonction de a?,, a?2, x3, //„, et porlons-les dans les relations (B). 11 vient
( ti\ jul2 — a).2-f- ar)+ 2 m0(<z — — nv j?3)+ .r2, — ax- — ax\=.o, ( «5 ( A* -+- v2 — a -+- a /a2 ) -+- 2 «0( — / .r, — apx* — vj3) +- x; -+- ax'1, + xij = o.
Posons, pour abreger,
p— (a2+i)u2 — (a2 — i) + 2rtv2,"
/• = — (a2 — i)X2 — 2<7(a2 +(rt2+i).
On trouve, en eliminant u'l enlre les equations (C),
2 u0(plxl-\- q {j.x2 + rvx3) = px] -\- qx\ -f- r x\.
II resulte de la premiere partie de ce travail que les deux points doubles de S sont a l'intersection de la conique
p x\ -\-rjxr,->r rx'l = o
et de la droite
A = plxx -+- q ixx2-h rvx3 = o.
97. Dans ce qui suit, nous supposons, pour simplifier les enonces, que les deux points doubles de S sont les points circulates a l'infini, communs a tous les cercles du plan ; la courbe S sera une cyclique.
On a immediatement les proprietes suivantes (nos 43 bis, 47) :
I. Un cercle coupe une cyclique en qualre points, autres que les points doubles, dont les arguments sont une sonime nulle, aux multiples pres de oj, l\(nf.
Ce cercle, passant par les points d'intersection de la conique
p x\ + qx\ + rx\ — o,
et de la droite A, aura pour equation, dans le systeme de coordonnees adopte,
o = 2(«|X1 + a!.r2 + (p^^i -i-(JiJ.x2-+- rvx3) -ha^ipxi + qx\ ■+- rx'\) — o,
et les arguments des quatre points, autres que les points doubles, ou il coupe la cylique, verifieront l'equalion
9l)R LE9 COURSES DE GENHE UN. 1 53
II. Quatre points (Tune cy clique, dont les arguments ont une sommc nulle, sont sur un cercle.
Les quatre arguments, dont la somme est nulle, verifieront une equation de la forme (n° 6)
a, xx (t) -+- a2.r2(£) + a3x3(t) -+- aQu0(L) = o et les quatre points correspondants de la cyclique seront sur le cercle
2(<xixi + cx2x2-Jr a3x3) A + <x0(px2t + qx\ -\- rx\) = o.
III. Une droite coupe une cyclique en quatre points, dont les arguments ont une somme nulle (a des multiples pres «/e to, /jw').
