O, — > 2C0 , 2 CO H
II y a done quatre systemes principaux.
99. Theokkme. — Les droites qui joignent deux points d une cyclique, conjugues dans un systeme principal, passent par un point fixe.
Ce theoreme est un cas particulier de la proposition demontree au n° 84; nous allons le prouver directement de la maniere suivante :
Soit d'abord le systeme principal, pour lequel on a s = o, et supposons que la droite -h a.2x., -+- a3xz = o passe par les deux points
(*) Les resullats g&ometriqaes dc cc paragraphe soat bien connus; la demonstration seule nous semble nouvelle.
(SUVRES DE Q. HUMBERT, T. I. • 20
d'arguments a et — a, eonjugues dans ce systeme, on a
a,^,( cc) + a1x2( a) + a3x3( a)=o, a{Xi{— a) + «j.r2(— a) + a3x3{ — <x) — o.
Or on a identiquement
' +* . it( into' — 2 ni H ;« -1
et, par suile,
p,(-o=p1(-«+^ =Pi ^-^ ='ft/*i^ =p3(o,
d'ou Ton tire (E)
D'apres cela, l'equation
devient
o = ffi[//,(a) + A«0(a)] + fl2[«2(a) -f- ^ f/„(a)] + a3[— f/,(«) + v //„(«)];
on a d'ailleurs
o = «,[«,(«) + >.«/0( a) ] -+- Oi[u2(a) + ^f/0(a)] -+- <73[ //3(«) + v//0(a)].
On en tire, par soustraetion,
asU3(<x) — o,
ce qui exige, puisque a est quelconque, (jue l'on ait
L'equation de la droite considered est alors de la forme
alxi-{- a2 x2 — o ;
elle passe bien par deux couples de points conjugues dans le systeme zero, puisque les fonctions u0(t), ut(t), u.,(t) et, par suite, les f'onctions u{ (/) -+- ~ku0(t), u.,(t) -h \t.u0(t), c'est-a-dire-r, (t),x2(t) sontpaires. On voit que cette droite a un point fixe, le point (x{ — o, x., — o).
Par une methode analogue, on determinerait, en s'appuyant sur les equations (3) de la premiere partie, les points fixes par lesquels passent respectivement les droites joignant deux points de la cyclique, conjugues dans les autres systemes principalis; on arrive ainsi aux resultats suivants :
Les droites qui joignent deux points (fune cyclique, conjugues dans Vun des quatre systemes principaux o, -i 2W, 2W Passent Par un pn*nl
fixe; les points fixes definis ainsi sont :
Pour le systeme o j?, = o, x.2=o, point 0,;
CO
» — xx — o, a-3—0, » U2;
» 2co' x2 — 0,x3=o, » 03;
» 2(0 + -•• x\— A, ^r2=fjt, ^r9 = v, B (J4.
Nous designerons cos quatre points, Ot, 02, 03, 04, sous le nom de poles principaux.
Ainsi, les coordonnees des points de la courbe S etant mises sous la forme (A), trois des poles principaux sont les sommets du triangle de reference.
iOO. Un pole principal est a V intersection des hauteurs du triangle forme par les trois autres.
Nous avons vu, en effet, que les points doubles de la courbe S sont a 1'intersection de la droite
p 1 xt -+- q p. x2 -+- /• v xz = o
et de la conique
p x* -4- qx\ -+- rx\ = o.
Le triangle de reference est autopolaire par rapport a cette conique, et la droite des points doubles de S est, par rapport a cette meme conique, la polaire du point (X, f/., v), c'est-a-dire du point 0^.
Ainsi, le point 0, est le centre d'un cercle, par rapport auquel le triangle 0,0., 0:1 est autopolaire; il est done a 1'intersection des hauteurs de ce triangle. c. q. f. d.
101. La cy clique est anallagmalique par rapport a ses quatre poles principaux .
Soient, en effet, quatre points quelconques d'une cyclique, A et B, A' et B', conjugues deux a deux dans un systemc principal. La somrae des arguments de ces quatre points est nulle; ils sont done sur un cercle, et Ton a, puisque les droites AB, A'B' concourent en un des poles principaux 0,
OA.OB =UaJ.OB'.
Par suite, la cyclique est sa propre transformee, par rayons vecteurs reciproques, quand on prend pour pole d'inversion un pole principal, et pour puissance d'inversion le produit des distances de ce pole a deux points de la cyclique, conjugues dans le systeme principal correspondant.
On appelle cercle directeur un cercle decritd'un pole principal comme centre, avec un rayon egal a la racine carree de la puissance d'inversion correspondante. II y a done quatre cercles directeurs.
