Les cercles directeurs se coupent a angle droit

Soient, en effet, sur la cyclique, les quatre points d'arguments

0 etant quelconque.

Les droites (0, — 0), ^— 0 + ^> 6 — '^j passent par 0, ; de meme,

les droites ^0, — 0 -+- ^ > ^ — 0, 0 — ^ passentpar 02. Les quatre points

consideres sont d'ailleurs sur un cercle, et les puissances des poles 0, et 02, par rapport a ce cercle, sont respectivement les carres des rayons des cercles directeurs correspondants. Or, d'apres la disposition meme

des quatre points, on voit que la polaire du point 0,, par rapport a ce cercle, passe par (X; et, par suite, on aura, en designant par a3 la distance 0, 02, par k, et /c, les rayons des deux cercles directeurs,

Les cercles directeurs de centres 0, et 02 se coupent done a angle droit.

103. Remarque. — Les points 0,, Q2, 0:!, 0, elant donnes, les cercles directeurs sont determines.

104. Le triangle, forme par trois poles principaux d une cyclique, est autopolaire par rapport au cercle directcur qui a le quatrieme pole principal pour centre.

Car on a, dans le triangle 0,0,03, en designant par P le point de rencontre des droites 0,04 et 0, 03,

a\ — a'l -+- a\ — ia, . Ot l\

d'ou

La droite 02 04 est done la polaire du point 03, par rapport au cercle directeur de centre 0,. On demontrerait, de meme, que la droite 0305 est la polaire de 0,.

105. Theoreme. — Le conjugue harmonique d'un pole principal 0 par rapport a deux points d'une cyclique conjugues dans le systeme principal correspond ant est une conique.

Soit, par exemple, le pole 04 ; on demontre aisement les relations

i/0f2O)'+^ — tj U i (2 fj)' ->r ^ — tj t/2 ( 2 to' -I- — — tj U3 ( 2 Co' ■+- ^ — I

u0{t) ux{t) u2{t) u3(t)

et, par suite, deux points de la cyclique, conjugues dans le systeme 2co'-i- ont respectivement pour coordonnees

.r,= «,(t?) + >.«„(&), x\ = ui(9) — lu0(8), x2 = «,(0) +fiM0(|5)> &i= «s(0) — H-"o(^)> u,{6) + vt/o(0), x\= U3(9) — VMO(0).

OEUVRES DE CKORC.ES HUMIiEUT.

Le conjugue harmonique du point A, u, v, pur rapport a ces deux points, a pour coordonnees

Or on tire des relations (B), en climinant ir0,

i au\ + «J(i — a!) + H;([ + a!) = o.

Le point (X',,X2,X3) decrit done la conique

(i - «2)X7 -+- ia\ XI -+- (1 -+- «S)X2 = o.

Nous I'appellerons la conique harmonique correspondant an pole principal 04. Le triangle (^(hOa est anlopolaire par rapport a cette conique.