TRAVAUX SUR DIVERSES FONCTIONS

Faite par H. POINCAHÉ.

Actd \[alket)iiitica, t. 38, p. tjG-SS (lyai).

Les fonctions fuchsiennes sont des fonctions uniformes d'une variable, inaltérées par certaines substitutions linéaires. On est naturellement conduit ù se poser le problème suivant : Former des fonctions uniformes de deux variables qui demeurent inaltérées par certaines substitutions linéaires. C'est, comme on le sait, ce que M. Picard a fait avec un plein succès par l'invention des fonctions hyperfuchsiennes.

Le premier problème à résoudre était évidemment de trouver les groupes discontinus contenus dans le groupe linéaire à deux variables. M. Picard est parvenu à en former un grand nombre par des considérations arithmétiques, .l'ai moi-même [25] démontré l'existence de deux classes de ces groupes. La première classe comprend les substitutions semblables des formes quadratiques ternaires indéfinies quand les coefficients de ces formes et de ces substitutions sont des entiers complexes. La seconde classe ne din'ère pas essentiellement des groupes fuchsiens.

Si G désigne en eilel une variable imaginaire et si l'on pose

à Lout grou|)e fachsien appliqué à ; et admeltanl pour cercle fondamental

Correspondra un groupe disconlinu appliqué aux deux variables x el v. Ce groupe est disconlinu lurscjue x et y sont imaginaires ou Iden réels, mais de telle façon que

il n'est plus proprement discontinu si x et r sont réels et si

C'est cette circonstance qui explique ce fait remarquable : qu'il est impossible d'imposer à une forme quadratique binaire indéfinie des conditions de réduction, telles que chaque classe contienne une réduite unique.

Mais les groupes de celle nature sont beaucoup moins importants que les groupes hyperfuclisieus proprement dits. J'appelle ainsi ceux f|ui n'allèrent pas l'hyperspliére

,rxi) -!- yya = i .

(Je désigne ici par x„ et j'o les quantités imaginaires conjuguées de x et v-)

Celte hypersphère joue dans cette théorie tout à fait le même rôle que le cercle fondamental dans la théorie des fonctions fuchsiennes.

J'ai voulu contribuer à l'étude de ces groupes et j'ai commencé par m'occuper des substitutions elles-mêmes. J'ai reconnu [io] que la classification en substitutions elliptiques, paraboliques et hyperboliques s'étendait aux substitutions hyperfuchsiennes.

La classification des groupes fuchsiens en familles est également applicable aux groupes hyperfuchsiens. Si nous laissons de côté les familles mixtes, nous distinguerons les groupes de la première famille qui contiennent des substitutions elliptiques, ceux de la deuxième famille qui n'en contiennent pas d'elliptiques, mais en contiennent de paraboliques, ceux de la troisième famille qui n'en admettent que d'hyperboliques.

FONCTIONS DIVERSES. Sag

Tous les groupes antérieurement découverts par M. Picard appartenant à la seconde famille, je signalai alors l'existence de toute une catégorie de groupes de la troisième famille et des fonctions hvperfuchsiennes correspondantes que plusieurs propriétés importantes distinguaient des fonctions déjà connues.

On se trouve ici en présence des mêmes difficultés que dans le problème de la formation des groupes fuchsiens. Il faut d'abord former un groupe tel que la fonction correspondante soit uniforme dans le voisinage de chaque point. Il faut ensuite reconnaître si ce groupe est effectivement discontinu. La première difficulté, bien que très grande, est d'ordre purement algébrique. La seconde exige, pour être résolue, l'emploi de considérations étrangères à l'Algèbre. On peut l'éviter tant que l'on se borne aux groupes de la deuxième et de la troisième famille; il est nécessaire de l'aborder, au couiraiie, si l'on veut étudier les groupes de la première famille.

Je l'avais résolue, dans le cas des groupes fuchsiens, par l'emploi de la pseudogéométrie de Lowatschevski ; j'avais reconnu en edet que certaines quantités (analogues à ce que Lowatschevski aurait appelé longueur ou surface) étaient des invariants par rapport aux substitutions d'un groupe fuchsien quelconque. le me suis donc demandé si les substitutions hyperfuchsiennes admettaient de semblables invariants [4()]. .l'ai reconnu qu'il en était ainsi : par conséquent tout groupe, tel que la fonction correspondante soit uniforme dans le voisinage de chaque point, sera discontinu.

La recherche dos groupes hjperfuchsiens est donc ramenée à un pur problème d'Algèbre; mais ce problème reste extrêmement difficile et il n'a été résolu par M. Pieard que dans un cas particulier. J'ai cherché à généraliser d'une autre manière les transcendantes uniformes qui se leproduisent par des substitutions simples. J'ai cherché s'il n'existait pas des fonctions uniformes possédant un -< théorème de multiplication », c'est-à-dire subissant une transformation algébrique, quand la variable est multipliée par un facteur constant. J'ai trouvé [100, 192] qu'il existe une classe étendue de pareilles transcendantes. Ce qui est intéressant, c'est le mode de raisonnement dont je me suis servi el qui peut être appliqué avec avantage à quelques questions relatives aux fonctions abéliennes.

ô3o FONCTIONS DIVERSES.