IX. — Somme des zéros

Dans le Tome 8 de V American Journal, j'ai démontré, eu ni'appujant sur une généralisation du théorème d'Abel, que la somme des zéros communs k p fonctions intermédiaires est une constante, et ne dépend que des multiplicateurs de ces fonctions.

J'ai ensuite, en remarquant qu'on est toujours infiniment près d'un cas de réduction, déterminé la valeur de cette constante.

Je voudrais déduire de là une conséquence.

Soient

p 4- 1 fonctions 0 ayant mêmes multiplicateurs.

Considérons maiulonanl les zéros communs aux p dernières fonctions; ces zéros seront donnés par les équations

(i) e, ('(■,) = e,(c, I = .. . = e/,fi',) = o.

Soit

une de ces solutions; l'imlice /varie de i à /?, l'indice /. de i à N,

N = !lll'\p

524 FONCTIONS ABÉLIENNES.

élant le nombre des solutions des équations ( i ) et m l'ordre des fonctions 0 considérées.

Formons maintenant les équations suivantes :

(2) e,( r,j^jie( i-,) = ewf,) -1- s^ei (•,■) = ... = e/;((^i)^ £/,©<'<■, ,1 = <>. les £ étant des constantes. Ces équations auront N solutions; soit

l'une de ces solutions. Les fonctions ©a+e/,© ont mêmes multiplicateurs que les fonctions ©<.. On aura donc

(3) ^ei.k^^g\.u.

Si les £ sont très petits, nous pourrons poser

g'i.k— Si.k= <>Si-k^

et les ogii- seront très petits de l'ordre des £; on aura donc en négligeant les quantités de l'ordre de £- :

av j dv i

Dans les dérivées -r^i les c, doivent être remplacés par gi.k^ Les équations (2) peuvent donc s'écrire

( 4 ) -'''Si.k -^ -t- £./ « * gi.k ) = "-

Soit A('i',) le déterminant des —r-^t c'esl-à-dire le déterminant fonctionnel des O,, [)ar rapport aux i'. Soit J^,/^((',) le mineur de ce déterminant correspondant à l'élément -j-^; les équations (4) nous donnent

En vertu de l'équation (3) on a io^,,(.= o; on aura donc aussi quels que soient les indices g el J :

(5, .„,„„ig^' = „.

La sommation doit être étendue aux N solutions des équations ( i ).

FONCTIONS ABÉLIENNES. ÔîO

Pour nous rendre coraple de In signilicaliou de ce théorème, voyons ce qu'il devient dans le cas des fonctions elliptiques (^ = i ) ; on a alors

X/./= i: Al l'i I = e'i ( l',),

et notre équation devient La f(jnction

est alors une fonction doublement périodique admettant pour pôles les points o'i;.; le résidu correspondant est précisément

L'équalion (6) exprime donc le théorème Lien connu d'après lequel la somme des résidus d'une fonction douldemenl périodique est nulle.

A ce point de vue, V équation (5) peut être regardée comme la généralisation du théorème des résidus.

Nous avons supposé jusqu'ici que les /> + i fonctions 0, ©i, 00, . . . , 0^ avaient mêmes multiplicateurs. Supposons maintenant que 0 et Q^ aient mêmes multiplicateurs; mais ne supposons plus que les autres fonctions aient mêmes multiplicateurs, ni même qu'elles soient de même ordre.

Reprenons les équations (i) et (2) mais en faisant

Les fonctions

aj'ant mêmes multiplicateurs que

les équations (3) subsistent, et par conséquent aussi l'équation (5), mais pour q =3 I seulement.

Soit

îifi FONCTIONS ABELIENNES.

Regardons F comme une fonclion de Vj, les autres ^^ élanl supposés exprimes en fonclion de cy par les équations

Notre fonclion F admettra comme infinis

Quel sera le résidu correspondant? C'est la limite de

nous aurons

i.or, ——!- = (1 ((/ = ■>.! /( ).

. '/H, Il ,

De cette équation nous lirons

A' étant le déterminant fonctionnel A où — '■ est remplacé par -^-^ — —■ De là ncjus lirons

et à la limite pour le résidu

fX.ffLn'

L'équalion (5) exprime donc bien que la somme des i-csidus (entendus au sens que nous venons de préciser) est nulle.

ANALYSE