SUR LES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES
Comptes rendus de /'Aradémie des Sciences, t. 98, p. 349-352 (ii frviicr 188')).
On sait tjuflh; imporlaiice a, dans la lliëorie des subslilulions linéaires de la
forme (a:, ,' ~^ , ) el dans celle des groupes fuclisiens el kleinôens qu'elles
peuvent former, la classification de ces substitutions en substitutions loxodroiniques, hyperboliques, elliptiques et paraboliques.
Cette classification peut s'étendre aux substitutions linéaires à deux variables
b y -t- c II ,/' -\- ù' ] -¥-
(rijr ti .1 -
il" y -+- c" ii".r -i- h" y -¥-
et spécialement à celles qui conservent l'hypersphère
(2) .fXo-l-.1'J'o = I,
et qui, piir conséquent, peuvent engendrer ces groupes hyperfuchsiens dont M. l^icard a donné des exemples. Dans l'équation (2), comme dans tout ce qui va suivre, j'ai représenté, à l'exemple de M. Hermite, par «0 I» quantité imaginaire conjuguée de u. Mettons la substitution (i) sous la forme homogène
(ibis) (x, j-, z; a .1- -t- b y -t- c z, a' ./■ -t- b' \' -h c' z , a"j:-hb"y-hc"z).
On peut, par un changement convenable de variables, amener cette substitution à l'une des formes suivantes, que l'on peut appeler /br/rte^ canoniques
(A) (x,y,z;ux,[iy,-;z), (a ^ p jzé y),
(B) {x,y, z;=ix,'-ir-hz,'-^z), (a ^[3), (G) {x,y,z;=^x,^y,^.z), (« 5^ p),
(D) (x, y, z; XX -h y, xy -h z, xz),
(E) ' (x, y, z; xx, ny + z, CI.Z).
Si?. SUBSTITUTIONS LINÉAIRES.
Ne nous occupons pour le moment que de la forme (A); car toutes les aulres, qui sont analogues aux substitutions paraboliques, n'en sont que des cas particuliers.
Les quantités a, |3, y sont appelées multiplicateurs. De plus, la substitution (i) admet Uois points doubles qu'elle laisse inaltérés. Quand on connaît les points doubles et les multiplicateurs d'une substitution, elle est entièrement déterminée. Quand elle est ramenée à la façon canonique, ces trois points doubles sont
à la substitution (A) correspond la substitution conjuguée
On v(jit aisément que toute substitution de la forme [i bis) change toute forme (juadratique du faisceau
(3; \xx,i-+- UxVu^ Bi,)x„-t- Cry» -i- Dj-Ju-i- D„c./„-^ K i;„-h FuCIq-i- F^^u
en une autre forme du même faisceau.
Pour que l;i substitution (A) reproduise, à un l'acteur constant près, une des formes (3) dont le discriminant ne suit pas mil, il faut que trois au moins des quantités
«ïu, a[^o, y.Xo, [3?o. «Yo, y», PTo- '{'po, TTo
soient égales entre elles. Or, si l'on suppose, comme nous l'avons fait, que les trois multiplicateurs soient différents, cela ne peut arriver que des trois manières suivantes :
(4) ao(„=fip„= YYo,
(5) aao= [iTo= Tpo»
(6) . »Po= 3to= "l'au-
L'Ii^potbèse (6) doit être rejetée, parce que la forme (3) qui serait reproductible par la substitution (A) serait imaginaire. L'hypothèse (4) signifie que les trois multiplicateurs ont même module : nous dirons alors que la substitution
est elliptique. L'hj'polhése (5) signifie que la quantité ^ est réelle et égale au
carré du module de ^- Nous dirons alors que la substitution est hyperbolique.
Cherchons uiaintenant quelles sont les substitutions elliptiques ou hyperboliques (que je ne suppose plus réduites à la forme canonique) qui reproduisent l'hypersphère (2), c'est-à-dire la foruie
xxs,-^ yyo— 23o-
