SUBSTITUTIONS LINÉAIRES

Cherclions d'abord les sul)stitutions elliptiques; soient

À 1 ;jL| i\ '/.., ;j.-; '/■> À-, tij ';.■;

les trois points doubles. Nous trouverons les six relations suivantes :

/■//•/in-t- l'-ii'-ku— v,vxii= o.

qui définissent les conditions auxquelles doivent satisfaire les points doubles. Ces conditions peuvent être satisfaites d'une infinité de manières; en.efTet, le premier point double peut être choisi d'une façon arbitraire, le second peut encore être choisi d'une infinité de manières, car il n'est assujetti qu'aux relations

À, Xio-t- ,'-ii;-'->o — v, vo,, = À-i/.io-i- ;-i-2;jii(i — v2Vio= o.

Le troisième point, double est alors entièrement déterminé. Il résulte de là qu'il entre dans les substitutions hjperfuchsiennes elliptiques huit paramètres arbitraires.

Passons aux substitutions hyperboliques : nous trouvons les conditions

/.»>.20-+- \>-l'^-H\ V.,V2o = >.:i"a:io-I- fi^l-^SO— VjVjo = o,

/■lÀ-20-1- ,'-11^-211— ''lV20= À2/.10-I- ;J.2JJL|0— V2Vu,= O,

'■1 /.;,o-l- \i.\ [Xno — ^\ ''30 = /■:, Xi(|-H [j.:,(jl,o — VjVm = o,

de sorte que l'hypersphère (2) est encore conservée par une Infinité de substitutions hyperboliques dépendant de huit paramétres arbitraires.

Disons encore quelques mots de la substitution canonique (B), qui est la plus générale après celles que nous venons d'étudier. Supposons p = i pour simplifier. Pour que cette substitution reproduise la forme (3), il faut d'abord que l'on ait

Il faut ensuite que l'on ait

z2o = I ou y. = a„,

ce qui montre que les substitutions (B) peuvent se répartir en deux classes qui peuvent être regardées comme des cas particuliers des substitutions elliptiques et hyperboliques.