ÉQUATIONS LINÉAIRES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 101, p 990-991 (iG novembre i885).

Dans une Noie que j';h eu l'iionneur de communiquer à l'Académie le q novembre dernier, j'ai montré que, si les séries normales qui satisfont formellement à une équation linéaire sont toutes du premier ordre, elles présentent, lors même qu'elles sont divergentes, les mêmes particularités que la série de Stirling. J'ai fait voir ensuite par quelle transformation on peut ramener le cas où ces séries sont toutes du second ordre à celui où elles sont toutes du premier.

L'emploi de cette transformation et l'application de certains principes relatifs à l'usage légitime des séries analogues à celle de Slirliug permettent de démontrer les résultats suivants :

1" Pour que l'une des séries normales soit convergente, il faut et il suffit qu'une équation auxiliaire, facile à former, admette une intégrale égale à une puissance de 3 — a multipliée par une fonction holomorphe dans tout le plan.

2° Si S„ désigne la somme des n premiers termes d'une série normale divergente et si X„ désigne le «'*""' terme, l'équation linéaire à laquelle cette série normale satisfait formellement admettra une intégrale J telle que

lim : = o

quand X tend vers l'inliui avec un argument donné.

INTÉGRALES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 6l5

Les résullats sont, comme on le voil, loul à fail analogues à ceux que nous avons obtenus lorsque les séries sont toutes du premier ordre. Us peuvent d'ailleurs s'étendre au cas général.

Soit, en effet, y = <f{x) une fonction définie par une équation d'ordri; n à laquelle satisfont formellement n séries normales d'ordre/». Nous poserons

u = 9 ( j,' ) s ( a i' ) . . . ç ( a/'—' jc), t = xP,

X étant une racine ^y''™" de l'unité. Alors u, regardé comme fonction de t, satisfera à une équation linéaire facile à former et à laquelle ne satisferont que des séries normales du premier ordre. On pourra alors exprimer m par une intégrale définie à l'aide de la transformation de Laplace. Quant à j', on l'obtiendra à l'aide de l'équation

F étant une fonction rationnelle de x, de (/ et de ses premières dérivées.

On retrouve donc dans le cas général les résultats que nous avons rencontrés dans les cas particuliers déjà examinés.

Il peut cependant y avoir un cas d'exception : c'est celui où l'ordre de l'équation auxiliaire qui donne u en fonction de / s'abaisserait d'une ou de plusieurs unités. Il arriverait alors que - -i- ne serait plus égal à une fonction rationnelle, mais à une fonction algélirique de x, de u et de ses dérivées. L'analyse se poursuivrait d'ailleurs comme dans le cas général.

Ce cas exceptionnel se rencontre en particulier dans les circonstances suivantes : il arrive quelquefois qu'on ne peut pas trouver n séries normales satisfaisant formellement à une équation linéaire donnée. M. Fabry, dans une Thèse remarquable récemment soutenue devant la Faculté des .Sciences de Paris, a montré qu'on peut alors, par une transformation simple, ramener l'équation proposée à une autre susceptible d'être satisfaite par n séries normales. L'ér[ualion, ainsi transformée, présentera alors la particularité que je viens de signaler.

Il résulte donc des considérations qui précèdent que les séries de M. Thomœ, qui satisfont formellement à une équation différentielle linéaire, représentent,

même lorsqu'elles sont divergentes, les intégrales de cette équation absolument

■ r'(x) de la même façon que la série de Slirling représente la fonction --) — ■ ■

Les Notes et Mémoires de Poiiicaié figurant dans ce Volume ont été léimprimés sans modifications autres que la correction des erreurs typograpliiques. Les notations de Poincaré pour les dérivées partielles ont été conservées.

Page 9. — Cette Noie ne semble pas avoir été connue des auteurs qui se sont occupés ultérieurement de celte question ou de proldèmes analogues.

Dans son Mémoire Sur les équdlions functionnelles (Bull. Sur. math. Fiance, l. 47, 1911) el t. 48, igio), P. Fatou a cherché les fonctions invariantes par une substitution rationnelle [;, R(^)] unil'ormes dans un domaine contenant un point double attractif de multiplicateur non nul. Ce sont les fonctions invariantes par les substitutions d'un groupe de substitutions algébriques définies par R„(^') = R„(c), s'r, --, où R„(i5) = R(Rn,), /i > I , csl la «'*■"" itérée de R ( :) " . R,(3). Fatou a déterminé ces fonctions en faisant une transformation conforme utilisant la fonction de Kœnigs; ce sont les transformées des fonctions loxodroraiques [fonctions invariantes par la substitution {z, sz), où *■ est une constante de module dilléienl de i]. Fatou étudie aussi le problème analogue dans le cas où le multiplicateur ne satisfait pas à la condition envisagée ci-dessus. Ce problème de Fatou, inverse de celui traité par Poincaré dans sa Note ne se rattache pas directement à la théorie des fonctions fuchsiennes.

Le problème même de Poincaré a été repris indépendamment par F. Marty et T. Shiniizu en 1981 dans le cas où la fonction F(:) est une fonction méromorphe [Martv, Recherches sur la réparti/ion des valeurs des fonctions méromorphes (Thèse soutenue le 7 novembre 1981 et .4nn. Fac. Toulouse, 1.23, i93i);.S'm/' Vilération de certaines fonctions algébriques ( C. /?. Acad. Se, t. 193, igSi ); Sur le groupe d'automorphie de certaines fonctions entières { C. R. Acad. Se, t. 193, igSa); Shimizu, On the fandamental domains and the groups for meromorplmfunctions, I, II {Jap. J. of math., t. 8, n|.'3i); On the itération of algebraic functions II {Proc. Phys. Math. soc. Japan, t. 13, 1981); On the existence of mer omorphic functions which are automorphir with respect lo sa me functions groups {Ibid., t. 13, 1988); On the linear functions of automorphism for meromorphic functions (Tohoku math. ./., t. 38, igSS)].

Dans sa thèse, Marty considère une fonction F (3) méromorphe dans un domaine D, si z' et s" sont deux points distincts de D tels que F(;') = F{s"), il appelle fonction d'automorphie de F ( :) une fonction H (;) définie au voisinage du point z" ri. P. - IV. 78

6l8 NOTES ET COMMENTAIRES.

par H (3) = cp [F (;)] où 9 ( m) esl la fonction inverse de F (g) prenant la valeur 3' au point F(c"). H y a en généial plusieurs fonctions d'automorpliie distinctes, et, dit Martj', ces fonctions formeHt un groupe. H étudie les propriétés des fonctions de ce groupe.

Dans le premier des Ménioiies cités, Sliimizu appelle domaine fondamental d'une fonction F(3) méromorphe sauf au plus au point à l'infini, l'image d'un feuillet de la surface de Riemann décrite par les valeurs de F (;). Les frontières des domaines fondamentaux sont transformées les unes dans les autres, dit-il, parles substitutions r.'^rd; (;) définies par F" ( ;' ) = F ( c ). Un nombre lini ou infini de telles substitutions forment évidemment un groupe, dit Sliimizu, c'est le groupe de la fonction F (:).

Dans son analyse de la Thèse de Maity, Ui.i.Ricii observe qu'il n'est pas toujours certain que les substitutions envisagées forment un groupe {Forlsch. der Math., t. 37, II). Dans des publications ultérieures [Sur une généralisation de la notion de groupe (8'' Congrès des math. Scandinaves, ii)34).' Sur la notion d'hypergroupe dans Vétude des groupes non abàliens { C. R. Acad. Se, t. 201, igSô); Structure des fonctions rationnelles et autoproje'tions des recouvrements topologiques, (C. R. Acad. Se, t. 201, 11)35); Sur les groupes et hypergroupes attachés à une fraction rationnelle (Ann. Ec. iXoiin., t. iiS, iii3())] Martv est revenu sur ces questions et a introduit la notion d'Iiypergroiipe qui est applicable aux fonctions 11 (:).

Dans des travaux récents, Gunnar af IIXllstrôm a poursuivi les travau.\ de Marty dans le cas oiiF(c) esl une fraction inilionneWe \^Ùber Substitutionen. die eine rationale Funktion invariant lassen; Zur Iteduzihilitàt der .■iutoniorplnefunktionen rationaler Funklionen ( icta Acad. Abo., 1. 15, 1946; On the study of algebraic functions of aulomorphism by help ofgraphs ( lo"^ Congrès math. Scandinaves, ig'ifi); nationale Funklionen mit Automorphiefunktiotien gleicher

Vieldeutigkeil [Acta Acad. Abo., t. 10, ii)48)J.

Page II. — Dans un Mémolie inùluK' Sullefanzioni analitiche polidronie (Atti Renie Acad. Lincei, Rendiconli, t. 'i-), V. Voi. terra donne aussi cette proposition.

La portée du résultat final esl mise en évidence par Poincaré lui-même dans ses publications ultérieures. Voir l'galement les l.eçons sur lu théorie des fonctions de E. BoREL ( i™ édition, 1898, p. .53-57) ^^ ^^ plupart des l'raiiés d'analyse par us après

Page 17. — Les théorèmes de Poincaré sur les fonctions entières ont été complétés d'abord par J. Hadamard dans son célèlire Mémoire Etude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann [.J. !Muth., (4), t. 9, 1893]. Si Ihh'-" est une fonction entière, M (/•) le maximum de son module pour \z\^=r, lladamard étudie d'une façon directe et précise la relation entie la croissance de M (r) et la décroissance de la suite des |('n|, ainsi que la relation entre la décroissance des [ a„ | et le genre de la fonction. Il résout partiellement les deux (piestions posées par Poincaré (p. 17).

Dans son Mémoire fondamental Sur les zéros des fonctions entières {Acta math., l. 20, 1897), E. BoREi- iiUroduisit à la place de la notion de genre de Laguerre, la

nolion plus précise d'ordre el se proposa de donner la relation entre l'ordre, fini ou non, el la distribution asymptutique des modules des points où la fonction entière prend une valeur donnée arbilraiie. Le point de vue surtout formel de Laguerre, Poincaié el en partie d'IIadamaid, fut ainsi dépassé et l'étude du cas exceptionnel de Picard intégrée dans la théorie générale. Il n'est pas question de donner ici un aperçu du développement considéiable de cette théorie nouvelle, étendue par Borel au cas des fondions méi-omorphes. Nous renverrons aux monographies et Ouvrages suivants :

E. BoHEl., Leçons sur /es funclion.i entiL-i es {Puns,, Gaulhier-Villars, igoo).

E. Borel, Leçons sur les fonctions méroniorphes {IbiiL, igo3).

O. Blumk.nthai., Principes de la théorie des fonctions entières d^ordre infini ( Ibid. , 1910).

A. Denjov, Sur les produits canoniques d^ordre infini {J . Math., 1910). E. BoREi,, Leçons sur les fonctions entières {2" édition, Paris, Gauthier-Villars, 1921).

G. Vai.irgx, Lectures on /lie général theory of intégral functions (1923).

G. JuiiA, Leçons sur les fondions uniformes à point singulier essentiel isolé (Paris, Gauthier-Villars, 1928).

G. Vai.irox, Fonctions entières et fonctions méromorphes {Mém. Se. math., X. 2, 1925).

A. Bloch, Fonctions holoniorplies et fonctions méromorphes dans le cercle unité {Ibid., t. 20, 1926).

R. Nevam.inna, Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méro-

morp/ies (Parii, Gaulhier-Villars, 1929).

P. Montel, Leçons sur les fonctions entières ou méromorphes {Ibid., 1982). L. AiiLPORS, Zur Théorie der (Jberlagerungsflàche (Acfa math., l. 60, n|35). R. Nevanlinna, Eindeulige analytische Funktionen (Berlin, Springer, igSô).

G. Valiron, Directions de Borel des fonctions méromorphes {Mém. Se. math., t. 89, 1938).

G. Vai.iron, Fonctions entières {Résista Union math. Argenlina, t. 12, Kj/îG-ig/i^).

Pour les nouvelles extensions de la théorie, voir :

S. Stoïlow, Leçons sur les principes topologii/ues de la théorie des fondions analytiques {Vatis, Gaulhier-Villars, 1988).

M. Morse, Topologifcd methods in the theory of functions of a complex variable {Princeton Uni^'. Press, i9'i7).

En ce qui concerne les questions traitées par Poincaré et en particulier celle du genre, citons les Mémoires suivants :

A. WiMAN, Sur le cas cV exception d<ins la théorie des fonctions entières {.Arkiv for math., t. 1, 1902).

6ao NOTES ET COMMENTAIRES.

P. BoiiTROUX, Sur quelques propriétés des fonctions entières (Actn niat/i., I. 28,

igoS).

E. LiNDELoF, Sur les fomiions entières d'ordre entier {Ann. hSc. Aorni., t. 22,

igoS).

G. Valiron, Sur les fonrtions entières d'ordre entier ( C. M. Acad. Se, t. 174,

i()22); Le théorème de Laguerre-Borel dans la théorie lies fonctions entières

(Bull Se. niiith., t. 4.6, 1922).

M. Ai,A\nER, Sur le genre de In dérivée d' une fonction entière { Ar/,ir for mut h.,

J. Hadamaui), Sur l<i théorie des fonctions entières (Hull. Soc. Muth., l. SiJ,

,1. IIadamaud el E. Landau, Sulle funziani intere di génère /inito { Reml. Acad.

Lincei, t. 6, 1927).

Page 25. — Celte Note a été reprise et développée par Poincaré dans la troisième Piirtie du Mémoire de WAmericnn Journiil donné plus loin (p. 36 de ce Tome).

Pa;;e 28. — Ce Mémoire, qui date en réalité de 1881, est réimprimé, avec un complément élargissant les propriétés de la courbe C, dans la première Partie du Mémoire de V American .tournai donné ci-dessous p. 36.

Page 36, ligne i. — L'existence de fonctions analytiques présentant des lignes de singularités était connue antérieurement au travail de Weierstrass cité ici par Poincaré; les fonctions modulaires donnaient des exemples de telles fondions. Mais Weiertrass donna le premier exemple dans leciuel cette circonstance résulte de l'examen de la série de Taylor.

Page 38, lignes 6 ii 10. — Ces lignes précisant la nature du contour C ont élé ajoutées dans celte nouvelle publication du Mémoire des Acta siienliarum fennicae. Entre temps avait paru une Note de E. Goursat (C. /?. Acad. Se, I. 94, 1882) qui, ignorant le travail de Poincaré, obtenait des résultats analogues par une méthode à peu près semblable. E. Goursat développa sa Note dans le Bulletin des Sciences mathématiques (t. 11, 1887) en reconnaissant la priorité de Poincaré et en précisant soigneusement les hypothèses afin de faire tomber des objections que M. Lerch avait adressées au premier exposé de Poincaré.

Le problème général de l'existence d'une fonction analytique uniforme admettant pour domaine naturel d'existence un domaine arbitraire donné dans le plan simple a été résolu par Runge {Acta math., t. 6, i885). Plus tard Osgood ( A'. J'. Bulletin, t. 5, 1898) a étendu le résultat de Poincaré au cas de domaines riemanniens non simples très généraux.

A. PniNQSHEiM [Zar Théorie der Taylorschen fieitie {Math. Ann., 1. 42, iSgS)] est revenu sui celle question, son bul étant d'i-ludier sur le contour C la fonction

NOTES ET COMMENTAIRES. ' fiil

conslruile par des séries de fractions raliomielles analogues à celles de Poincaré el de montrer qu'elle peut y admettre des dérivées de tous les ordres. La démonstration du lait que, moyennant ses hypothèses, la ligne C est une ligne singulière a été justement critiquée par E. Borel dans sa Thèse {Sur quelcjnfs points de la théorie des fonctions, Paris, 1894 et Ann. Ec. ISorni., t. 12, iSgy). TJltérieuienient, A. Pringsheim a justilié ses conclusions dans un cas particulier {Math. Ànn., t. kk, iSgi;; des généralisations de ses résultats ont été données par G. Jl'lia {Bull. Soc. Math., t. 4.1, igiS).

D'autres méthodes de construction d'une l'onction admettant des coupures essentielles données, ne se rattachant pas comme celle de Poincaré à la considération d'une série de fractions rationnelles, ont été données ultérieurement, notamment en définissant la fonction au moytn de ses zéros.

Page 43. — Cette partie du Mémoiie, entre la page 43, ligne 27 et la page 48, ligne 21, est la partie nouvelle.

Pages 26 et 53. - La possibilité du développement de F8 en série de Fourier ne semble pas résulter des seules hypothèses faites et il convienrait aussi de justilier les transformations ultérieures.

Page 48. — Dans sa Thèse citée plus haut, E. Borel, se proposant de délinir une méthode de prolongement non weierslrassien au delà d'une ligne singulière d'une fonction analytique délinie |)ar une série de fractions rationnelles, s'exprime en ces termes :

Il est, en elfet, indispensable de dire quelques mots d'une objection que M. H. Poincaré a faite par avance à toute tentative de prolongement d'une fonction au delà d'une ligne singulière essentielle fermée. M. H. Poincaré considère une fonction o{z) admettant une ligne singulière essentielle L et donnée à l'intérieur de cette ligne, el une autre fonction 4* (s) assujettie à la seule condition d'être donnée à l'extéi'ieur de L et d'admettre aussi L comme ligne singulière essentielle. Cela posé, il démontre qu'il est possible de trouver deux fonctions /(3) et ^(3) admettant respectivement pour lignes singulières essentielles deux arcs diflérents de L (formant à eux deux le contour L tout entier), pouvant, par suite, être prolongées analyliquement dans tout le plan, et telles que l'on ait

f -^ g = Ç à l'intérieur de I-, f -^ g = ^ à l'extérieur de L.

M. H. Poincaré conclut de là que la notion de prolongement analytique d'une fonction en dehors d'un espace limité pai- une ligne singulière essentielle est nécessairement dénuée de sens.

Les résultats que nous avons oljtenus sui- les fonctions o (; ) semblant indiquer que, pour certaines fonctions tout au moins, il existait une soite de prolongement avant des propriétés fort simples et bien déterminées j'ai cherché la cause du fait singulier signalé par M. Poincaré.

E. BoREL a d'abord poursuivi ses recherches dans sou Mémoire Sur les séries de polynômes et de frac/ ions rationnel/es {Acta math., t. 24, 1900). Dans la conclu sion de ce Mémoire, relevons les deux phrases suivantes :

J'espèie que les résultats de ce Mémoire convaincront tous les lecleiiis que la généralisation de la théorie du prolongement analytique s'impose nécessairement à ratlenlion des géomèlies : l'observation attentive des faits analytiques y conduit naturellement; on voit la fonction analytique traverser par des passages infiniment étroits, la coupuie qui paraissait infranchissable.

Au point de vue des variables réelles, nous avons appris à connaître une catégorie peut-être intéressante de fonctions de variables réelles pourvues de dérivées de tout ordre : ce sont les fonctions (M) qui comprennent comme cas particulier les fonctions analytiques et qui, comme ces dernières, sont complètement déterminées lorsqu'on connaît, en un point, leur valeur et celles de leurs dérivées.

Les ellorts de E. Borel, provoqués à l'origine par la critique féconde de la pensée de Poincaré, devait le conduire à sa théorie des fonctions monogènes non analytiques, tandis que, dans le cas réel, Denjoy suivi par Carleman, devait aboutir à la théoi-ie des fonctions quasi analytiques.

Page 5-. — Dans ce premier Mémoire, Poincaré ne donne que les grandes lignes de sa méthode. On se reportera au Mémoire de 1907 {Voir ce tome IV, p. 70)011 Poincaré répond aux objections qu'avait soulevées ce piemier exposé.

Page 70. — Le travail de W. F. Osgood : O/i the existence of l/ie Green's function for the most gênera/ siniply connecled plan rei;ion, se trouve dans American math. soc. Transactions, t. 1, 1900.

Page 71. — Indépendamment de Poincaré, P. Koebe résolut le problème de l'uniformisation en 1907 [ Uber die l'niforniisierung beliebiger anulylischer Kiirven {Gott. Nachr.)]. Koebe a poursuivi ses recherches dans un grand nombre de publications, notamment :

Ùber die llilberlsihe Uniforniisierungsmethode (Gott. Naihr., 1910). Die zentralen Uniformisierungsprobleme (J. fi'ir die Math., t. 139, 191 1). Zur Théorie der konfurmen Abbildung und Uitiformisierung [Leipzig Der., l. 66,

Des méthodes difi'érentes de celle de Poincaré ont été données tout d'abord par P. KoEBB : Ùber eine neuc Méthode der Konformen Abbildung und Uniformisierung [Gott. Nahr., 1912); Be,:(riindung der Kontinuildtsmethode ini Gcbiete lier konformen Abbildung und Uniformisierung {/bid., 1912-1916).

La méthode de Hilbert, basée directement sur le principe de Dirichlet a été développée par R. Courant [Uber die Annendung des Dirichletschen Prinzips auf die Problème des konformen Abbildung (Diss. Gott., 1910); Uber die Méthode des Diri htelschen Prinzips {Math. Ann.. t. 72, 1912); Uber die Exis-

tenztlieoreme der Polential und Funktionentheorie (./. fiir die Math., t. l'i-'*, 191 1)]. Cette métliode est exposée dans la Funklionenlheorie de lluiiwiTZ et CoiRANT (i™ édition, 1922); elle a été adoptée par P. Fatou dans son exposé ( Tliéorie des fondions algébriques d'une variable et des transcendantes qui s'y rattachent, t. II du Traité d'Ai'i'EM. et Goursat, Fonctions automorjilies, igSo).

Aux travaux de Poincaré se rattachent direclennent des travaux de L. LiciuiNSTEiN : Intégration de l'équation ^u =z ke'' sur une surface fermée ( C. /?. Acad. Se, t. 157, igiS et Acta math., t. 40, igiS); Die Méthode des Bogenelementes in der Théorie der Uniformisierungstranszendenten mit Grenz oder Hauptkreis {Gôtt. Nachr., 1917).

L. BiEBERBACH aoaptant des méthodes de Kœbe a donné un exposé n'utilisant plus les fonctions harmoniques, mais reposant sur les méthodes de la théorie des fonctions d'une variable complexe [ Liber die Einordnung des llauptsatzes der Uniformisierung in die Weierstrassische Funktionentheorie (Math. Ann., t. 78, 1918). 11 suit cette marche dans son Lehrbuih der Funktionentheorie, t. II ( 1"^ édition, 1927).

La considération par Poincaré des surfaces de Riemann correspondant aux fonctions analytiques les plus générales a conduit à approfondir le concept même de surface de Riemann et à donner des définitions indépendantes de la notion de la fonction analytique, comme Riemann l'avait fait pour les surfaces closes correspondant aux fonctions algébriques. Le livre de 11. Weïl, Die Idée der Riemannschen Flàche (Berlin, igiS) et le Mémoire de T. Rado {Acta Szeged, t. 2, 1920) donnent une définition axiomalique des variétés de Riemann abstraites. Mais de telles conceptions existent déjà dans Poincaré et en 1909, KraîBE avait aussi considéré de telles variétés ( C. /?. Acud. Sr.. t. l'i-S) et montré que, à toute variété convenablement définie correspond des fonctions analytiques dont cette variété est la surface de Riemann. Toute la théorie est présentée sous celle forme générale dans le grand Mémoire couronné de KoEBri : Allgenieine Théorie der Hiemannschen Mannigfaltigkeiten (honforme Abbiidung und Uniformisierung) écrit en r9i7 et publié dans le Tome 50 des Acta iVlathematica ( 1927).

Parmi les travaux plus récents se rattachant à la théorie générale, signalons ceux de P. Myrberg : Ûber die Existenz der Greenschen Funktionen auf einer gegebenen Rieniannschen Flàche {Acta Math., t. 61, 1923) et sur le même sujet IL Selbero : Ein Existenzsalz der Potenlialtheorie und seine Anwendung {A'orske V. Akad., Oslo, igSS), de S. Stoïlow, Leçons sur les princijies tojiologiques de la théorie des fonctions analytiques (Paris, Gauthier-\ illais, ujSS), de L. Ahlfors : Die Begriindung des Dirichletschen Prinzips {Soc. se. Fennicx, Comm., XI, t. 13, 19^8).

Ajoutons que l'École mathématique finlandaise, sous l'impulsion de R. Nevanlinna, P. Myrberg et L. Ahlfors étudie d'une façon ajiprofondie les propriétés des surfaces de Riemann générales. On trouvera dans le livre de R. Nevanlinna, Eindeutige anulytische Funktionen (Berlin, Springer, 1986) un exposé des résultats déjà obtenus à celte époque. Une grantle partie des travaux les plus récents se trouve dans les Annales Acad. se. Fenniix, séries A.

Page i44- — Poincaré a développé sa méthode dans le Mémoire des Ac//i mathcmr/tica portant le même litre {voir ce Tome IV, p. i\-).

Page i^y. — Dans sou Mémoire du Tome 22, des Aclu inathemalica, Poincaré observe que la démonstration de ce pieniier travail conlienl un détour inutile ( Ii/Zr ce Tome IV, p. i64, lignes Ô-7)

Page 161. — Dans sa thèse Sur les fonctions de variables comple.res {Pavis, 189/4 et Acld math., t. 19, iSgS), P. Colsi.n a donné une démonstialion simple du théorème de Poincaré : Une fonction méromorphe en tout point à distance finie est le quotient de deux fonctions entières. P. Cousin ne se borne pas aux fonctions de deux variables; il sest ellorcé d'autre part d'étendre ce ihéoième au cas où la fonction /(;, z' ) est méromorphe lorsque :■ appartient à un domaine B du plan des 3 et :;' à un domaine 15' du plan des z', mais sa démoiislralion ne \aut que si B et B' sont simplement connexes (Gro.nwall, Bull. Ani. math, soc, t. 20, 1914). Dans ses recherches sur ce sujet, P. CotsiN, a formulé deux problèmes plus généraux :

Premier problème. — On suppose qu'un domaine f» est recouvert à Vaicle d'une intinilé déDombrable de domaines partiels D,- intérieurs a D et (|ue, dans chaque D, on a défini une fonction méromorphe /] ; on suppose en outre (|ue, chaque fois que deux domaines J),, Dy ont une portion commune D,y, la diUéience /i — fj est liolomorpho dans D,y. ()n se propose de trouver une fonction F, méromorphe dans D et telle que, dans chaque D; la dilléience F — fi soit holomorphe.

Deii.rièni'^ pioblèmi'. — Les fonctions fi sont remplacées par des fonctions g, holomorphes dans les 1), el l'on suppose que, dans D, ,, le quotient— est holomorphe et jamais nul. < )n se propose de trouver (1 holomorphe dans O telle que,

p dans chai|ue D, le ipiolient — soit holomorphe et non nul.

Dans une Note .Sur les problèmes de Poincaré el de Cousin pour les fondions de plusieurs variables complexes {C. fi. Acad. Se, 1. 199, 1984 )< H. Cartan a indiqué des catégories de domaines pour lestiuels les pioblèmes de Cousin sont possibles; lorsque le deuxième problème est possible, le théorème de Poincaré est vrai pour ce domaine. II. Cartan est revenu sur le premier problème de Cousin (C. R. Acad. Se, t. 207, iqSS), puis, moyennant une légère modification de l'énoncé, l'a résolu flans des cas très généraux (on sait qu'il n'est pas toujours possible) dans son .Mémoire Idéaux de fonctions antdjliques de n variables complexes (Ann. Ec. iSorm., t. 61, i944)- Fo<r aussi sur ce sujet Oka iJ. of se. Ilirosinia Univ., t. 6, 1986 et t. 7, 1987) et Bemnke (•/. der Deuts. Ver., t. Ti , 1987). Au second problème de Cousin se rattache un Mémoire de II. Cartax Sur les matrices holomorphes de n variables complexes (J. Math., l. 19. 1940)-

Page i6i. — Poincaré n'a pas donné de déinonstralion détaillée de ce tliéorème. Sii;nalons que, dans nn Mémoire Sur lex variétés définies par une relulion entière {Bull. Se. math.., t. 55, i()3i), II. Cartan a étudié les variétés définies par F(a;, j') = o, F étant une fonction entière de .r et y. De son côté, G. Jii.ia avait considéré le domaine d'existence de la fonction y[x) définie par une telle équation {Bull. Soc. math., t. a'i., 1926).

Page i63. — Voici ce que dit Poincaré à la page 1 17 de l'Analyse de ses travaux au sujet de la théorie du potentiel :

Je me suis occupé d'abord de l'équation de Laplace. La lliéorie de cette équation est intimement liée à celle du potentiel. Mais les propriétés du potentiel n'avaient pas toujours été démontrées ni avec assez de généralité, ni avec assez de rigueur. Je m'en suis aperc u quand j'ai voulu les enseigner et aussi quand j'ai voulu les appliquer à des questions d'analyse. J'ai cherché [295] à perfectionner ces démonstrations et j'ai eu besoin égalemeni [ H)()] de les étendre à l'espace à plus de trois dimensions.

Le Mémoire [190] est celui reproduit ici ; le n" 295 désigne l'Ouvrage aujouid'iiui classique : Théorie du potentiel newtonien (Carré et Naud, 1899).

La tiiéorie générale du polenliel a pris un nouveau développement considérable à la suite des travaux de Lebesgue et de ses successeurs sur la mesure des ensembles et l'intégration. On Irouveia dans un Mémoire de H. Carta.n intitulé Z-« lliéorie du potentiel ne^vtonien. Energie Capacité. Suites île potentiels {liull. .Soc. niatli., t. 73, i9'|5) un exposé de l'état actuel de celle question el quelques indications bibliographiques.

Page i83. — Parmi les travaux consacrés ultérieurement aux fondions biliarmoniques signalons ceux de I". Si:vi:iii : // prablema di Dirichlel per le funzioni biarinoniclie {Mem. lieale icad. d'Jtalia, t. 2, 1901 ); Contribali alla teoria délie funzioni biarmoniche (lbid.)\ Hisoluziona générale del problenia di Diri< lilet per le fuzioni biarnionica {Rend. Reale Acad. Lincei, t. 13, igSi); Les fondions biliiirniuniques et lu théorie des fonctions analytiques de deux variables complexes {C. li. Acad. Se, t. 192, igSi). Voir aussi l'exposé général du même auteur : Risultati vedute e problemi nella teoria délie fuzioni analiliclie di due variabili complesse {Semimario Mat. di Milano, t. 5, igSi). Notons que Seveii se borne au cas de quatre variables réelles et que Leiong dans le Mémoire signalé ci-dessous propose d'appeler fonctions pluriharmoniques celles relatives à plus de quatre variables.

Page sig, ligne 7. — Dans cette formule liguie le coeflicient numérique C qui prévient de ce que, page 218, l'aire de i élait égale à Fv„c"^', K„ étant un coefficient numérique, C est donc égale à (/; — 2)K„.

Page 220. — D'après la Note précédente, la densité de la matière attirante sur H. l'. - IV. 79

6a6 NOTES ET COMMENTAIRES.

la variété C esl n — ; comme o =: i el iv.,„ = — , on \oil (lue Ja densité

est non pas "i, mais „, •

Dans son Mémoiie sur Les fondions plurisoiisharmonicjaes [Ann. Ec. Norm., t. 6'2, 1945), P. Lelo.ng donne par une inélliode plus simple (pie celle de Poincaré des propositions plus générales, qui comprennent le résultat de Poincaré. 11 corrii;e Terreur numérique qui vient d'être signalée.

Page 245. — Ce Mémoire qui pose le difficile problème de la possibilité de la correspondance analytique entre deux domaines à quatre dimensions, a été le point de dépari de toute une partie de la théorie nouvelle des fonctions de deux ou plusieurs variables complexes, qui s'est développée depuis 192 1.

En i()2i, K. Kei.nhard a défini une catégorie de domaines pour lesquels la correspondance analytique est possible [ Lber Abbildiins:en durcli luudylisclie Funktionen sweier VerdnderUclien {Math. Ann., t. 83)], puis C. Caratiieoi)OI!V [lber die Géométrie der analylischen Abbildungen {Math. Sem. Hamburg Univ., t. 6, 1928)] a introduit des domaines plus généraux, les domaines cerclés, enfin S. Berqman.n [ Ùber die Existenz von Repràsentuntenbereichen in der Théorie der Abbildung durch paare von Funktionen zweier komplexen Vercïnderlichen {Miith. Ann., t. 102, 1929)] a indiqué une méthode d'étude basée sur l'existence de systèmes orthogonaux de fonctions.

Dans un travail intitulé Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique {J. Math., t. 10, igSi), II. Cartan a résolu dans une certaine mesure le problème en question pour tous les domaines bornés qui admettent une infinité de transformations analytiques en eux-mêmes laissant lixe un point intérieur. On trouvera en outre dans ce Mémoire de nombreuses indications bibliographiques sur l'état du problème à celte époque (travaux de Reixiiardt, Bergmann, Beh.nke, Tiiullen, Wei.ke). H. Cartan a poursuivi ces recherches, notamment dans les Mémoires suivants : Sur les Irnn.tforniations analytiques des domaines cerclés et semi cerclés bornés {Math. Ann., t. 106, 1932); Sur les groupes de transformations pseudo-conformes (deux Notes : C. R. Aciid. Se, t. 196, 1933); Sur les transformations pseudo-ronformes du pioduil topologique de deux domaines (C. R. Acad. S'-., t. 199. i93'i); Sur la possibilité d'étendre aux fonctions de plusieurs variables complexes la théorie des fonctions univalentes (Note dans les Leçons sur les fonctions univalentes ou multivalentes de Paul Montée, Paris. Gauthier-N'illars, igSS); Sur les groupes de transformations analytiques [Actualités se. Hermann, t. 198, 1985). A ces travaux se rattachent des recherches de E. Cartan, notamment Sur les domaines bornés homogènes de Vespare de n variables complexes {Abh. Math. Sem. Hamburg Univ., t. 11, 1935).

S. Berg.mann a donné sa raétliode et ses résultats dans de nombreux Mémoires pour lesquels on pourra se reporter à ses exposés récents : Sur les fonctions orthogonales de plusieurs variables complexes avec les applications à la théorie des

foiicliolis a/ia/} li/jucs {iMém. Se. malli., i. 106, 1947) ei Sur /ii. /mictio/i noyau d'un domaine et .ics applicalions dans la tliéorie des Iransfor mal ions pseudoconformes {Ibid., t, 108, 19^8), où roii trouvera une bibliographie complèle.

Page ''.99. — La première de ces remarques est développée dans le liullclin de la Société mathématique ( Voir ce Tome IV, p. 3o2).

Page ?w?,. — Celle étude des zéros des fonctions 0 joue un rôle fondamental dans les travaux ultérieurs de Poincaré sur les fonctions abéliennes.

Page 307. — Au sujet de la démonstration de Weieistrass, voir ci-dessus l'Analyse des travaux (ce Tome IV, p. 592). Poincaré est revenu sur sa démonstration en 1897 et en 1902 ( Voir ce tome IV, p. 169 et 486). D'autres démonstrations ont été données par E. Picard [C. R. Acad. Se, t. 124-, 1897) et par P. Painlf.vè {C. R. Acad. Se, t. 122, 1896; t. ISi, 1902).

Page3i2. — Les fonctions introduites ici sous le nom de fonctions intermédiaires sont appelées fonctions de Jacobi par l'nORENiL'S {J.fiir die Math., t. 97, i884). Au sujet de ces fonctions, voir G. Hl'sibeut (7. Math., t. 5, 1899) et Bagneka et DE Franchis {Rend. Cire. Palermo, t. 30, 191 o).

Page 3i4. — Le théorème signalé ici par Poincaré est donné dans le Bulletin de la Société mathématique, t. 12, i884, et est inséré dans le Tome III, p. 333-35i.

Page 3i.3. — On rapprochera de cette \ote où Poincaré se borne à étudier quelques exemples, le Mémoire Sur la réduction des intégrales abéliennes et les fonctions fuchsie/tnes (Rend. Cire. Palermo, t. 2", 1909) inséré dans le Tome III, (p. 362-428) et la Conférence faite en Allemagne sur le même sujet (T. III, p. 429-436).

Page 337. — De cette proposition on peut rapprocher des travaux de Scorza (Rend. Acad. Lincei, t. Ik, 1910).

P. 340. — Ce paragraphe III développe la \ote Sur une généralisation du théorème d'Abel (C. R. Acad., t, 100, 1896) insérée dans le Tome 111 (p. 357- 359).

Page 367. — Pour la bibliograpiiie relative aux théorèmes généraux sur la réduction des intégrales abéliennes, on pourra consulter l'Encyclopédie (Encyk. Math. Wis., Analjsis, II, B, l. 7, 1921).

Page 367, ligne 20. — Ces résultats ont été étendus par W. Wirtinger (Wien. Anz. t. 32, 189.5; yicla math., t. 26, 1902).

Ca8 NOTES ET COMMENTAIRES.

l'âge 379. — Cette Note est développée dans le Mémoire du Journal de mathématiques qui la suit dans ce Tome.

Page 448. — La relation entre les périodes dans le cas du genre 4 avait déjà été donnée par F. Sciiottky {.J . fur die Math., t. 102, 1888).

Page 456. — Pour la bibliographie des surfaces de Kunimer, on pouna se reporter au n° G8 de l'article de Krazer et Wirti.ngkr : Abelsciie Funklionen und allgemeine Thetafuiiklionen {Encjk. Math. IVi.t., Ana/ysis. Il, B, t. 7, 19-ii). G. Humbert a étudié géométriquement certaines de ces surfaces.

Page 469- — Cette Note est développée dans le paragraphe II du Mémoire qui la suit dans ce Tome.

Page 526. — Pour les développements récents de la théorie des fonctions abéliennes et des théories qui s'y rattachent, on pourra se reporter aux Ouvrages suivants :

S. Lef.schkt7., L^inalysis situs et la gcoméirir algébrique, Paris, Gautliier-

Villars, 1924.

A. Weil, Généralisation des fondions abélicnnes {J. de Math., t. 17, 19.38). F. Severi, Funzioni quasi abeliane {Pontif. Acad. sr., Roma, 1947- A. Wbil, Variétés abéliennes et courbes algébriques {ylctualités se. Ilermann,

t. lOG'i., 1948).

Page .537. — Les résultats de ce Mémoire ont été développés ou utilisés par plusieurs auteurs. Tout d'abord E. Picard dans deux Mémoires Sur une classe de transcendantes nouvelles ( icta ma/h., t. 18, p. 189 et t. 2.'i, p. 189) et dans son travail .Sur une classe de transcendantes généralisant les fondions elliptiques cl abéliennes {.tnn. lie. A'orni., t. 10, njiS) a repris les démonslralions rie Poincaré par sa méthode d'approximations successives en ne se bornant plus au cas 011 les solutions cherchées sont holomorphes au point double de la substitution. Il a donné un exposé d'une partie de ses recherches sur les transcendantes de Poincaré et les tianscendantes de Picard dans ses Leçons sur quelques équations fonctionnelles et applications (Paris, (lauthier-VilIars, 1938).

L'étude de la distriiiution des valeurs et de la croissance des fonctions entières d'une variable définies par certaines équations fonctionnelles qui se ramènent à celles de Poincaré a été faite par G. Valiro.n {Ann. Fac. Se. Toulouse, igiS et Acta math., t. 47, 1920). Ces mêmes fonctions ont été rencontrées et étudiées par P. Fatol' dans ses études sur l'itération (Mémoire cité plus haut, p. 617, ligne 7). Les tianscendantes méromorphes de Poincaré s'introduisent d'autre part dans les travaux de G. Jllia sur les équations fonctionnelles qui se présenleni dans l'étude du jirobième de la semi-permutabilité : Sur les solutions méromorphes de

certaines équations fonctionnelles {C. R. Acad. Se, t. 173, Hjai); Sur une classe (inéquations fonctionnelles (Ann. Ëc. Norm., t. 40, 1928).

Dans ses Leçons sur les fonctions autoniorphes de n variables ( Paris, Gauthier- Villars, 1920), G. Giraud a utilisé le théorème d'existence des fondions de l'oinnaré dans l'étude des groupes aulomorphes.

Un problème assez semblable à celui de Poincaré est celui de la recherclie de l'onctions analytiques admettant un théorème d'addition, problème traité par P. MYRBERfi {Preisschriftrn Jablonowskischen Ges., 1922).

Page 55'.. — Le nombre p„ du bas de cette page est supposé supéiieur à i , ce qui est réalisé en supposant il assez grand.

Page 583. — Ces Notes et .Mémoires sui- les séries Irigonométriques ont été provoquées par des questions d'Astronomie, aussi Poincaré les a-t-il fait figurer dans son analyse sous la rubrique Astronomie. Mais il a paru qu'elles intéressaient plus spécialement les analystes puisqu'on y trouve le germe de méthodes qui ont été développées beaucoup plus tard dans la théorie des fonctions quasi périodiques et presque périodiques.

Page 591. — Dans toute la première Partie du Mémoirej il s'agit de convergence absolue.

Page 593, ligne 18. — Cette assertion de Poincaré a été démontrée par G. Valiron : Sur un théorème de Poincaré [C. /?. Acad. Se, t. 228, 1949).

Page 097, ligne 22. — La série converge absolument poui- / réel compris

entre h £ el ï. £ > n, mais Poincaré considère la série obtenue en déve-

loppant les sin-"/ en polynômes Irigonométriques et en prenant la somme de leurs valeurs absolues.