ÉQUATIONS LINÉAIRES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 101, p. gSy-yiji {y novciiiln-e iS85).

Supposons qu'on veuille étudier les intégrales d'une équation linéaire dans le voisinage d'un point singulier; nous pouvons toujours supposer que ce point a été rejeté à l'infini et qu'on étudie les intégrales de l'équation

pour les valeurs très grandes de x. Nous supposerons que les coefficients P sont des polynômes entiers en x. Si les degrés de ces polynômes vont constamineat en croissant avec leur indice, les intégrales sont régulières et peuvent se développer suivant les puissances décroissantes de x, entières ou non entières. Il n'y a pas alors de difficultés, mais il n'en est plus de même lorsque les intégrales deviennent irrégulières.

Il peut arriver aussi que l'équation ( i ) admette une intégrale de la forme suivante :

Q/j étant un polynôme de degré p en x, "k étant une constante et <f{x) une série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x. On dit alors que l'équation possède une intégrale normale d'ordre />.

(') Cette Note et la suivante ont été omises dans le Tome I où elles auraient dû figurer.

6i2 INTÉGRALES DES EQUATIONS LINEAIRES.

Il arrive, en général, que l'équation est sali^dnie formellemen/ par n séries de la forme (2), mais que ces séries, étant divergentes, ne peuvent représenter des intégrales. Ou peut dire que ces séries divergentes sont des séries normales d'ordre p. L'objet de la présente iXole est de montrer quelle est la véritable signification de ces séries divergentes.

Lorsque tous les polynômes P sont de même degré, ou si aucun d'eux n'^sl de degré plus élevé que P„, l'équation est satisfaite par n séries normales du premier ordre. C'est à ce cas simple que s'appliquent les résultats d'un JMi'moire que j'ai fait imprimer dans V American Journal of Malhematics. On peut alors, par la transformation de Laplace, mettre l'intégrale de ( 1 ) sous la forme

i' étant une foucliijn de r qui satisfait à une équation linéaire (3) de même forme que ( i ).

Des résultats du Mémoire que je viens de citer on déduit aisément les propositions suivantes :

1" Pour que l'une des séries normales soit convergente, c'est-à-dire pour que l'équation (1) admette une intégrale normale, il faut et il suflît que l'équation (3) admette une intégrale égale à une puissance de ^ —a multipliée par une fonction entière transcendante.

2° Si S est une des séries normales divergentes, si X„ en est le n"""° terme, et si S„ est la somme des n premiers termes, l'équation ( 1 ) admettra une intégrale J, telle que

lilU r— (.1 ^ S„) = O,

quand x tend vers l'Infîni avec un argument donné. Cette intégrale existera quel que soit cet argument ; mais il pourra se faire que l'intégrale J, qui jouit de celte propriété, ne soit pas la même pour les différents arguments.

Ce fait analytique est tout à fait analogue à celui qui se présente dans l'étude de la série de Slirling.

Le cas le plus simple, après celui que nous \euons d'étudier, est celui où toutes les séries normales sont du second ordre au plus, c'est-à-dire où le degré de chacun des polynômes P n'est jamais supérieur de plus d'une iiiiilé au degré du polynôme qui le précède immédiatement.

INTÉGRALES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 6l3

Soil '\i(x) une intégrale quelconque de l'ëqualion ( i ). Posons

Il arrive alors que u. regardée comme Fonclion de C, satisfait à une équation linéaire d'ordre «'-, qu'il est aisé de former, et dont les coefficients sont des polynômes entiers en t. On s'assure facilement que les séries normales qui y satisfont formellement sont toutes du premier ordre. On est donc ainsi ramené au cas précédent, et l'on peut exprimer u. grâce à la transformation de Laplace, par une intégrale définie.

Quant à )• = '\i{-x), cette fonction se calculera à l'aide de l'équation

F étant une fouclion rationnelle de x, de u et de ses premières dérivées; on obtiendra donc j^, dès que l'on connaîtra m, par de simples quadratures.

U resterait à étendre ces résultats au cas général et à examiner divers cas d'exception; ce sera, si l'Académie veut bien le permettre, l'objet d"une autre Communication.