MO'.K

et en dehors de celte partie commune

iio= o.

3° Dans les éléments non contigus à C^, on aura partout ;<o= o.

On voit d'après cela que la fonction ?<o est partout positive ou nulle, qu'elle est continue, mais que ses dérivées ne le sont pas.

Nous allons maintenant définir une suite indéfinie de fonctions

(i) Uo, u,, ii«, ..., ((„,

Ges fonctions, comme nous allons le voir, seront toutes positives ou nulles; elles seront finies, sauf au point O, où elles deviendront logaritlimiqucment infinies de telle façon que la diflérence a„ — m,, reste finie. De plus elles seront coiuinues mais leurs dérivées ne le seront pas. Et ceci nous amène à définir ce que nous appelons les masses génératrices. Ges masses sont réparties le long des lignes de discontinuité de ces dérivées. Soit dans un élément du domaine L une de ces lignes de discontinuité; la fonction u, d'après ce qui précède est continue, mais il n'en est pas de même de ses dérivées, et eu particulier la

dérivée normale -z- relative à la ligne L subit un saut brusque, quand on

8o UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

franchit celle ligne. C'esl ce saut brusque divisé par 2n qui représente la densité de la masse génératrice le long de la ligne L. Les masses ainsi réparties le long des lignes de discontinuité sont comme nous le verrons loutes négatives, et il faut y adjoindre une masse positive égale à + i et située au point O.

Nous allons voir comment nous passons de l'une des fonctions de la série ( i ) à la suivante; comme nous connaissons Uo, toutes les autres fonctions de la série (i) se trouveront ainsi définies. Le passage de la fonclion m„ à la fonction Un+{ se fera par la méthode du balayage^ que j'ai exposée dans V American Journal of Mathematics^ t. 12 (*).

Considérons la fonction w„, soit C/, l'élément du domaine D que nous nous proposons de balayer. Envisageons les masses génératrices négalives relatives à la fonction m„ et situées à l'intérieur de C/, ; elles sont réparties le long de certaines lignes de discontinuité L. Soit ds un élément de l'une de ces lignes, et — [J-ds la masse génératrice négative située sur cet élément. Alors nous aurons pour la valeur de la fonction «,,+1 — ^<„ au point M :

1" A l'intérieur de C/, :

r , , MQ'.PQ

Q est le centre de gravité de l'élément ds, Q' est inverse de Q par rapport au cercle C^, le point P est un point quelconque de la circonférence de C;,;

PQ quel que soit d'ailleurs ce point, le rapport -—7 conservera la même valeur,

puisque Q et Q' sont inverses par rapport à C<. L'intégrale doit être étendue à tous les éléments de toutes les lignes ds de discontinuité L intérieures àC^.

2° Dans un élément C/, conligu à G^.

On aura encore

MQ'.I'Q

JL tfS lo

dans la partie commune à Ca et à Ca, et

Un^y— "n= o en dehors de cette partie commune.

( ' ) Voir Tome IX.

UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 8l

3" Dans un élémonl non conligu à G/, on aura parloul Un+{ — w,i= o.

Il résulte de là, que la fonclion iin^i — u„ est partout positive ou nulle; qu'elle est continue; que c'est un potentiel logarithmique, engendré par des masses génératrices positives p. c/.v placées sur les divers cléments ds des lignes de discontinuité L intérieures à G/,, et par des masses négatives réparties sur la circonférence de C/,. La densité de celle matière génératrice négative en un point P de cette circonférence est

/(x (/s /cosç' cosoN

o et <p' étant les angles que fait le rayon mené de P au centre de G/, avec les droites PQ et l*Q'. On voit que cette densité est toujours finie quelle que soit la position du point P sur la circonférence G<.

Nous voyons alors que pour la fonction h„,i, les masses négatives qui se trouvaient sur les lignes L inli''rieures à G/, ont dispaiu; cailes masses négatives qui engendraient u,, sonlcgales elcontraires aux masses positives qui engendrent M/I+-I — M/1- Les masses négatives qui se trouvaient à l'intérieur de G/, en ont élé balayées. Si le point O est inléricur à G/,, il b'y trouvait une masse positive + i , qui était l'une des masses génératrices de u,,- Le balayage ne porte pas sur celte masse positive qui subsiste et demeure l'une des masses génératrices de u,ni. Ainsi aucune des masses génératric(;s de Un+i n'esta l'inlérieur de G/., sauf la masse positive + i qui pourrait se trouver au point O. Donc en aucun [joint de Ca (sauf au point O, si ce point est intérieur à G/,) il n'y a de masse génératrice de w„-i-|. Donc eu tout point de G/, sauf en O, la fonction «„, i est une fonction harmonique, finie et continue ainsi que ses dérivées et satisfaisant à l'équation de Lapiace Su,, ,1 = a.

( )n voit de plus (pie les lignes de discontinuité L ne sont autre chose (jiie les circonfi''rences d(!s dilléreuts cercles qui représentenl les i''léinents du domaine.

J'ai expliqué dans le Mémoire cité (American Journal, p. 220), comment on peut choisir l'ordre des balayages de façon que chaque élément du domaine soit balayé une infinité de fois.

Nous avons donc une série de fonctions

l'i, ifi, ..., u,„ ..., toujours positives et toujours croissantes; c'esl-à-dire que nous avons une série

dont tous les termes sont positifs ou nuls. Deux hypothèses sont possibles; la série converge ou elle diverge. Voici ce que nous apprend à ce sujet le théorème de Harnack.

D'après ce théorème, si l'on a une série

et qu'à l'intérieur d'un certain cercle, le terme général /„ soit une l'onction liarnwnitjue et positive: si la série converge en un point intérieur au cercle, elle convergera en tout autre point intc^rieur au cercle; de plus la convergence sera uniforme et la série obtenue en la dillérentiant une ou plusieurs fois terme à terme sera aussi uniformément convergente.

Gela posé, considérons un élément C,(. Cet élément est balayé une indnilé de fois. Soient

les fonctions obtenues immédiateinenl après ces différents balayages. Si le point O n'est pas intérieur à G/,, toutes ces fonctions sont harmoniques à l'intérieur de G/,; en tout cas, que () soit ou ne soit pas intérieur à G/,, les diflérences de ces fonctions seront harmoniques à l'intérieur de G/.. Donc la série

a tous ses termes harmoniques et positifs et nous pouvons lui appliquer le théorème de Harnack, si donc elle converge en un point de ('./,, elle convergera dans ce cercle tout entier. Si la série (2) converge, u^^ tend vers une limite finie quand n croit indéfiniment, ce qui montre que «„ ne croît pas indéfiniment avec n, c'est-à-dire que la série (1) converge. La condition nécessaire et suffisante pour que (2) converge, c'est que (i) converge. Si donc (i) converge en un point de G/,, elle convergera dans tout G/,, et l'on en déduit aisément que si elle converge en un point du domaine D, elle convergera dans ce domaine tout entier.

De plus, d'après le théorème de Harnack, si la convergence a lieu, elle sera uniforme, et l'on pourra différentier la série terme à terme, une ou plusieurs fois, la convergence restant uniforme; de sorte que la somme de la série sera une fonction harmonique.

Nous souiines donc en présence de deux hypothèses seulement.

i" Ou bien ?/„ croil indiïfiniiiieat avec n el cela pour tous les points du domaine D.

2" Ou bien, pour lous les points de D, w„ lend vers une liuiile u, et cette limite que nous appellerons fonction de Green est une fonction harmonique, sauf au point () ; et dans le voisinage de O, la différence u — «„ est harmonique. Cette fonction de Green est partout positive ou nulle.

Voyons quelle est Tinfluence de l'ordre des balayages. Je dis que la fonction u ne dépend pas de l'ordre des balayages, pourvu que chaque élément soit balayé une inlinité de fois. Soient

deux suites de fonctions obtenues par balayages successifs el ayant respecliveinenl pour limiles u et ii' . Observons que la toncliun iniliale est la même pour les deux suites

On a donc u' ^ z^,, puisque a'> m'^ ; je dis que ^l « > m„, on aura également m'>- «,,-hi. Si l'on passe de m„ à ^^,,^| en balayant l'éléiiient C/,, on a en dehors de C/t, «n= «/i+i et par couséquenl u'> ;/„., i. A l'intérieur de C/., on volt que m' est une fonction harmonique, et il en est de même de m„^i puisque Ca vient d'être balayé. Il en sera donc de même de (/' — i<„Ji, même si O est à l'intérieur de (]/,. Or sur la circonférence de C/. on a «„^ i = u,,, cl par conséquent m'> «rtt-i- On aura donc encore à l'intérieur de C/,

On en conclut par récurrence que

et à la limite

On trouverait de même

Donc

Si dans la formation de la suite des m'„. lous les éléments n'étaient pas

balayés une infinité de fois, ce raisonnement ne serait plus applicable, parce qae la fonction u' ne serait pas partout harmonique, des masses génératrices pouvant rester dans des éléments qui auraient fini par ne pas être balayés. Mais la fonction u resterait harmonique et l'on aurait toujours

Peut-on appliquer les mêmes procédés, (juand lo domaine comprend ce que nous avons appelé un élément algébrique (c'est-à-dire un cercle multiple, vide supra § II in fine). Oui, mais il faut expliquer comment on peut Lalaver un pareil élément. Soit C/, le cercle en question, A son centre, et supj)osons que ce cercle soit «'''°, c'est-à-dire que chaque point intérieur à C< re])résente n points du domaine regardés comme distincts et qui s'échangent entre eux quand on tourne autour de A. Nous construirons un autre cercle C avant pour centre un point quelconque B; de telle façon qu'à loul point I\I du cercle C/, de coordonnées polaires p el o), corre!>j)onde un point M' du cercle C de coordonnées |)olaires, ^p et^- [-.a fonction f/^, avant le halavage est une fonction

harmonique des coordonnées de M, sauf le long de certaines lignes de discontinuité L où il y aura des masses génératrices négatives. Ce sera donc aussi une fonction harmonique des coordonnées de M' snuf le long des lignes L' formées par les points correspondants de ceux de L. Le long de ces lignes L', il y a aussi des masses génératrices négatives, et en edet la fonction fi,, considérée comme fonction des coordonnées du |)oint M', est continue le long de ces lignes, mais ses dérivées |)remiéres ne le sont pas. Nous pourrons balayer par le procédé ordinaire, celles de ces masses négatives qui sont à l'intérieur de C (puisque (V est un cercle simple, et non plus un cercle multiple ciuiiuk! C/,); on définira ainsi la fonction !<;,,|. Ou \(ii[ (pie, en dehors de C/,, on aura

de même sur la circoutéreuce de C et par conséquent sur celle de C/,. A l'intérieur de Gx, on aura ;//, , i > Up et m,, , , sera harmonique. Ainsi nous pouvons faire la représentation conforme du cercle multiple C,; sur le cercle simple C, et appliquer la méthode du balayage au cercle C. De même si nous avions des éléments infinis, nous ferions la représentation conforme de la partie du plan extérieure au cercle C/., sur l'intérieur d'un cercle C el nous appliquerions la méthode du balayage à ce cercle C.

Comparons inaintcnanl les fondions do Gret'n u et ;/' relatives à deux domaines D el D' :

i" Quand D est conlenu dans D'. Soient alors

ii„, II,. .... «„, ...

U^f■, Wj, .... ««. . . •

nos deux suites de fonctions, formées par i)alavages successifs et relatives, la première à D, la deuxième à D'. Nous pourrons supposer

et en ell'et comme D est contenu dans D', nous pourrons supposer que le cercle C|| qui est un élément de D, est aussi nu élément de D'. Nous aurons alors à l'intérieur de C,,

Mu = ci\, > o,

et en deliers de Gq

Un = «Q = o.

Si la preuiiére suite c>t converj;entr, nous appellerons u su limite et de même si la deuxième suite converge, sa limite s'appellera u'. La fonction u' est harmonique dans D' et par conséquent dans D (sauf au point ( ) où c'est u' — u„ qui est harmonique); elle est d'ailleurs positive; on diMuontrcrait comme plus haut que l'on a «'> u„, que l'on a i<'> u„,t si «'> u„, que par conséquent quel que soit n on a a'> u,, et à la limite

D'où cette conséquence, si la suite des u,\^ rornerge pour le domaine !)', la suite des u„ relative ci un domaine D conlenu dans D' convergera a iorliori.

2" Quand le domaine D est multiple de D'.

Celte fois à tout jioinl de D' correspondent plusieurs points de D; si nous reprenons nos deux séries, il faut supposer qu'aux différents points de 1) qui correspondent à un même point de D', la fonction «',, reprend la même valeur, mais que la fonction u,, ne reprend pas en général la même valeur. Soit C,, celui des éléments de D qui contient le point O; il y aura alors d'autres points Oi, Oo, . . . , Oj,, . . . qui correspondront au uième point de D' que le point O;

et l'oa pourra les regarder comme appartenant à autant de cercles C,', Cl, . . ., C'„', . . . qui seront des éléments distincts de D, mais qui correspondront à un même élément de D'. Alors la fonction w), deviendra logarithmiquement infinie, non seulement en O, mais en O), Oj, . . . , tandis que la fonction u„ ne deviendra infinie qu'en ().

Alors nous aurons dans le cercle C,,

"o = ll'g > O, ■

dans les autres cercles CJ, C'^, etc.

«'„ > o, Ko = O,

et en dehors de ces cercles

Si donc la suite des w'„ converge on aura et en raisonnant cumme plus haut on trouvera

Une observation toutefois; nous nous sommes appuyé plus haut sur ce (jue la diir(»rence w' — • ««4-1 est harmonique à l'intérieur du cercle C/, que l'on vient de balayer; sachant de plus que cette difl'érence est positive sur la circonfcrence de ce cercle, nous en avons conclu qu'elle reste positive à l'intérieur de ce cercle. Ici il peut se faire que u' — t/n+i devienne infinie, puisque u' devient infinie aux points ()/, différents de O, tandis que u„^i reste finie, mais alors cette différence tend vers +00 et non pas vers — 00 de sorte que la conclusion subsiste.

On aura donc à la limite

Si donc la série converge pour un donuiinc D' elle coinergera a fortiori pour un domaine D multiple de D'.

3° Quand enfin à tout point de D correspond un point de D' et un seul, tandis qu'à un point de D' peuvent correspondre soit zéro, soit un, soit plusieurs points de D.

Dans ce cas il existe un domaine inlermcdiaire D" tel que D soit inuliijjle de D" et D" contenu dans D'.

Si alors la série converge pour D' elle convergera pour D", et par conséquent pour D.

( )n voit que la démonstration du Mémoire cilé {Bull. Soc. ttiatli.) a clé simplifiée par l'application de la méthode du balayage et surtout par celle du théorème de Harnack, qui permet de supprimer toutes les discussions relatives à l'uniformité de la convergence.