IV. — Introduction de la fonction auxiliaire majorante

Considérons un système de fonctions

et soit D le domaine principal de ce système; soit D, le domaine principal de l'une des fonctions jvi ; d'après ce que nous avons vu plus haut, à chaque point de D correspond toujours un point de 1)| et un seul; mais à un point de 1)| peuvent correspondre zéro, un ou plusieurs poinis de D. Il existe donc un domaine intermédiaire D', , contenu dans Di et donl D est multiple, et il en résulte comme nous venons de le voir, que si la série converge pour Di, elle convergera également pour D, et la fonction de Green existera pour D.

Soit maintenant D' un domaine secondaire de notre système de fonctions, il sei'a multiple de D, de sorte que la fonction de CJrecn existera également pour D'.

Gela posé il y a des fondions ji pour le domaine principal desquelles la fonction de Green existe certainement. Considérons en clfet une fonction fuchsienne quelconque

n'existant qu'à l'intérieur du cerch- foudameiilul, de centre j = o et de rayon i. Résolvons l'équation x^^f{z) par rapport à ; et soit

9(.r) sera une fonction multiforme dont on peut former le domaine principal Di. Considérons sur ce domaine Di la fonction

t = [os- — -,

ce sera la foncUon de Greeu chercli6e; elle esl en eflel toujours positive, et toujours Jiarmunique, sauf en un seul point du domaine Dj, celui pour lequel on a 5 == o, et en ce point elle devient logarilhmiquement infinie.

Nos fonctions (/„ du paragraphe précèdent sont toujours plus petites que t, et cela est vrai des fonctions u,, relatives soit au domaine D, lui-même, soit à tout domaine contenu dans Di, ou multiples d'un domaine contenu dans D,. Si donc notre svstéme (i) comprend la fonction

la suite des «„ converge et la fonction de (Ireeii existe, soit pour le domaine principal D, soit pour un domaine secondaire D' quelconque de ce système (i). F^a fonction t joue le même rôle que celle que nous avons désignée par la même lettre dans le Mémoire ciié (Bull. Soc. math.). Elle permet de montrer par l'ini-galilc

que la série converge sauf pour les points ou t est inlîni. Ces points sont les points de I) qui correspondent au point z ^^ o de Dj ; en général, il y en a plusieurs, l'un est I<î point O, les autres pourront s'appeler Oi, Os, ....

r^a fonction de Green, d'après sa définition, doit devenir infinie au point O, mais rester finie en O,, ()■,, etc.; seulement le théorème de Harnack nous apprend que si la séi'ie converge en un point du domaine D, elle convergera dans tous les autres points de ce même domaine, sauf au point (). Or elle converge en lous les points où / est (ini; donc elle convergera également eu ()i, ()■., .... Nous sommes ainsi disp(;ns(''s de la considération des fonctions fi (jui dans le !\Iémoire cite, avaient été précisément introduiles pour démontrer la convergence aux points tels que ()|, ()..., ....

Supposons maintenant que dans notre syslcuie (i) ne figure pas de fonction de cette forme, c'esl-à-dire qui soient l'inverse d'une fonction fuchsienne. rVoiis formerons alors un système (i bis), obtenu en adjoignant au système (i) une /) -t- I ""' fonction

(pii soit l'inverse d'une fonction fuchsienne.

Soit A le domaine principal du système (i bis), el A' un domaine secondaire de ce même système. Alors A' et A sont multiples d'un domaine ô contenu dans le domaine principal D du système (i).

UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 8t)

Nous sommes ccrlaius alors que In fonction de Green existe pour A el A' puisque le s^'sléine (i bis) contient une fonction ins'crse d'une fonction fuchsienne; nous verrons que l'existence de celle fonction de Greon, permet d'uniformiser les fonctions

y\- }■:• • • • ■ }'!>, yp-t-\,

c'est-à-dire d'exprimer ces p -^ i quantités en fonctions uniformes d'une même variable auxiliaire Ç; mais une difficulté peut se présenior; le champ dans lequel cette uniformisation sera réalisée, comprendra tous les points pour lesquels les/) + I fonctions existent, c'est-à-dire tous les points qui ont un correspondant dans A, c'est-n-dirc tous les points de o. Elle ne le sera pas pour tous les points pour lesquels les p premières fonctions données existent (abstraction faite de la /> -+- i""^ fonction arbitrairement adjointe), c'est-à-dire pour tous les points de D, si ô est plus petit t]ue D. I^a solution pourrait donc jvaraîire imparfaite et c'est ce qui me conduit à la discussion suivante.

On peut faire plusieurs hypothèses au sujet de la fonction fuchsienne dont l'inverse esi y/,^,.

1° Nous pouvons supposer que le polygone générateur de celle fonction fuchsienne a des sommets sur le cercle fondamental, c'est-à-dire qu'il est de la deuxième ou de la sixième famille. C'est ce qui arrive par exemple si l'on choisit pour celle fonction fuchsienne la fonction modulaire comme je l'ai fait dans le Mémoire cité. On saii que celte fonction ne peut prendre aucune dos valeurs o, i, «s , de sorte que la fonction inverse

nexisle |)as pour x = o, x = i, x = o:>; si donc il y a dans le domaine D des points pour lestjuels x prend l'une de ces trois valeurs, ces |)oints doivent être exclus du domaine ô; ce sont des Ausnahmsstcllen.

2" Nous pouvons supposer que lo polygone générateur est lout entier à l'inlcrleur du cercle fondamental, c'est-à-dire que la fonction fuchsienne est de la première famille. Dans ce cas, celte f(jnclion peut prendre toutes les valeurs possibles; la fonction inverse

yp+x= 9(.c)

existe pour toutes les valeurs de x. Il arrivera toutefois cpie colle fonction pri''- H. P. — IV. 12

go UNIFORMISATION DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

scnlera des points de ramificalion algébrique. Si nous nous placions au point de vue que nous avions d''abord adopté, c'est-à-dire si nous ne voulions composer nos domaines que d'éléments holomorphes ou polaires, ces points de ramillcation seraient en dehors du domaine principal de celle fonction )>+i; il n'en sera plus de même si au contraire nous admcllons les éléments algébriques; à tout point de D correspondra un point du domaine de »•,,+ ! et par conséquent un point de A. Les domaines ô et D seront identiques; A et A' seront multiples do D et il n'y aura plus d' Ausnahmsstellen.

Mais il j a quelque chose de plus; soient A et D deux domaines quelconques et supposons que A soit multiple de D. Nous dirons que A est ré^ulièremenl multiple de D, s'il satisfait à la condition suivante. Soit M un point de D; soient

les points correspondanls de A. Soit M' un autre point de D infiniment voisin de M; nous supposerons que parmi les points de A qui correspondent à M', il y en ait un qui soit infiniment voisin de M,, un qui soit infiniment voisin deMo, ....

Si celle condition est remplie, c'est-à-dire si A est régulièrement multiple de D, il est clair que, si à un certain jioinl M de D correspondent un nombre fini n de points de A, alors à tout autre point de D correspondront le même nombre fini n de points de A.

Revenons maintenant aux domaines principaux A et D des svstémes (i bis') et (i). Je dis que A est régulièrement multiple de D (si l'on admet des éléments algébriques, et si la fonction fuchsienne auxiliaire est de la première famille). Soit en efTet M un point du domaine D, et x la valeur correspondante de celte variable. Pour cette valeur x, la fonclion ,)'/,, i existe et peut prendre une infinité de valeurs

qui se déduisent de l'une d'entre elles, a, par exemple, en appliquant à celle quantité «i les diverses substitutions linéaires du groupe fuchsienqui engendre la fonction fuchsienne auxiliaire.

Au point M de D, correspondront une infinité de poinis de A, que j'appellerai

fM, a,), CM, a.), .... (M, a,,j, . . .• et qui correspondront aux dillérentes valeurs de la fonction j';,+ i.

Soil maiiileaant M' un aulre poinl (io D, infinimenl voisin do M; soit a^ -j- j la valeur correspondante de x, et

IJI, l...>, ..., IJ,p ...

les délerminatioQS correspondantes de y/,^^. Au point M' de D correspondront une infinité de points de A qui sont

Ce qu'il s'a};il de démontrer, c'est que parmi ces points il y en a un qui diffère infiniment peu de (M, «,,), et comme M' diffère très peu de M par hypothèse, il suffit d'établir que parmi les déterminations de ^{x + e), il y eu a une, [3,/ par exemple, qui diffère infiniment peu de la détermination a,, de o{x). Or cela paraîtra évident pour |)eu qu'on réfléchisse aux propriétés des fonctions fuchsiennes de la première famille.

Soit maintenant D un domaine quelconque; je dis que nous pourrons trouver un domaine A, régulièrement multiple de D et simplement connexe. Soient en effet C|| l'élément initial de D, C un élément quelconque, M un poinl intérieur à C, M(| un point intérieur à C,,. On peut aller sur le domaine D de M,, en M par plusieurs chemins; envisaf;eons deux de ces chemins; ils pourront être équivalents, c'est-à-dire qu'ils pourront limiter une aire continue située sur D; mais ils pourront aussi ne pas l'être, à moins que D ne soit simplement connexe.

Cela posé, définissons le domaine A; un poinl de ce domaine sera caractérisé par le point M de D qui lui correspond, et par le chemin par leqtud on est venu de M„ en M; pour cjue deux points de A ainsi caractérisés soient identiques, il faudra et il suffira qu'ils correspondent à un même point M de D et ([u'on soit venu de M,, en M par deux chemins équivalents, il est clair que A est simplement connexe, je dis qu'il est régulièrement multiple de D. .Soient en effet M un point de D, appartenant à un élément C, MjNM, MqN'M, deux chemins allant de IVr„ à M et que je supposerai équivalents. Ainsi se trouvera défini un point de A que j'appellerai (iNI, M„NM). Ce qu'il s'agit de démontrer, c'est que si M' est un poinl de D. très \oisin de ]M, il y aura sur A un point très voisin de (M, M„NiM) el qui correspondra à j\J'. Et en effet. M' élant très voisin de RI, pourra être joint à M par un arc MM' très petit; en l'adjoignant au chemin M, .IN M, on obtiendra un clieiiiin M,|NMM'qui en différera très peu; el alors le point (M', MjNAlM') est un point de A qui correspond à M' et qui est très voisin de(M, M„NM), .... c. Q. F. D.

Ce qui juslifie ce résultai, c est que si deux chemins MiiNM et, INluN'M sont équivalents, il en est de même des deux chemins M„NMM' et MqN'MM'.

En résumé, étant donné un système (i) quelconque de fonctions multiformes, et D le domaine principal de ce système, on peut toujours former un domaine régulièrement multiple de D, simplement connexe, et pour lequel la fonction de Green existe.

Et en effet, formons une fonction Vp^^-^ ?(^)i inverse d'une fonction fuchsienne de la première famille; adjoignons-la au système (i) de façon à former le système (i bis); le domaine principal A de ce système sera régulièrement multiple de D, à la condition que nous admettions des éléments algébriques. De plus A sera mulliple d'un domaine contenu dans le domaine principal de Vp^-i et comme la fonction do Green existe pour ce dernier domaine, elle existera a fortiori pour A. Nous avons vu en ell'et que la présence d'éléments algébriques n'empêche pas l'application de la méthode du balayage.

Nous j)ouvons ensuite construire un domaine A', régulièrement multiple de A et simplement connexe. Etant régulièrement multiple de A, il le sera de D. De plus la fonction de (ireen existant pour A, existera a fortiori pour A'.