VII. — Applications aux fonctions logarithmiques

Soit F une fonction des n variables complexes :

z, = XiH-ij',, z-i= Xi-\- iyi, ..., z„= x„-h iy,,

holomorphe dans un certain domaine G.

La fonction

V = log 1 F I

sera une fonction biharmonique des ■j.n variables x et y dans tout ce domaine sauf sur la variété à 2« — 2 dimensions

variété que j'appellerai C dans ce qui va suivre.

J'appellerai S la variété à 2n — i dimensions qui limite le domaine G.

Nous pourrions ea partant de la variété C, construire, comme dans le paragraphe précédent, une variété-canal K à 2« — i dimensions qui serait l'enveloppe des hjpersphères dont le rayon serait e et dont le centre serait sur C.

J'envisagerai ensuite une liypersphère 2 dont le centre sera un point quelconque de G et dont le rayon sera e. Je désignerai par P le centre de cette hypersphère.

Je désignerai par M le point de coordonnées courantes

^1, 7l, ^'-, yi, ■■■, ^n, Yn

et par ;• la distance MP.

J'ai déjà posé

je pose de même

V = loe I F 1

La fonction LJ a même définition qu'au paragraphe précédent ; il me reste à montrer que la fonction V satisfait bien aux mêmes conditions que dans le paragraphe précédent.

i" Quand le point M est à la distance £ de la variété C, V est de l'ordre de log£.

Soit en eflet

*^i) }'\t *^2î yii •••) ^m yn

un point quelconque M' de la variété C. Je poserai d'ailleurs

^'k -t- iy'k = ='* ■

Si le point M' n'est pas singulier, c'est-à-dire si en ce point -j^ ne s'annule pas; nous pourrons poser

II est une série développée suivant les puissances de

Si — Zl, 2» — So, ..., 3/1—1 — -n— Il

et se réduit à z\^ quand tous les ;/, deviennent égaux à

0 esl une série développée suivant les puissances de

et ne s'annule pas quand lous les z/, deviennenl égaux à s'^ .

Supposons maintenant que le point M' soit singulier; je suppose donc qu'en

ce point -rr- s'annule, mais cependant que toutes les dérivées successives de F

par rapport à z,, ne s'annulent pas à la fois. Par exemple, pour fixer les idées, je supposerai

d^„ - dzl - "' rfil ^ °-

Alors nous pourrons poser

0 conserve la même signification. Les séries IL, H,, H,, sont comme H développées suivant les puissances de

-I -Il -•» ^ïi ..., ■^ii—\ — -Sn— 1.

Quand lous les z^ deviennent égaux à z\., le polynôme

sjj-f- Ho^f, -I- H| ;;„ -H H(, se réduit à

Tout cela résulte des lliéorèmes cités plus haut et qui se trouvent soit dans les œuvres de Weierslrass, soit au début de ma thèse.

Reste le cas où toutes les dérivées —r-r sont nulles à la fois. Mais ce cas se

dz

ramène au précédent. 11 suffit de faire un changement linéaire de variables; et l'on peut toujours le faire de telle façon que toutes les dérivées de F par rapport à l'une des nouvelles variables ne s'annulent pas à la fois. Car nous ne supposons |)as que F soit identiquement nul. Qu'on se reporte d'ailleurs au dernier des théorèmes de la partie citée de ma thèse.

Cela posé, plaçons-nous d'abord dans le premier cas ; celui où

Considérons le point de coordonnées courantes M dont les coordonnées sont les parties réelles et imaginaires de

Considérons le point M" donl les coordonnées sont les parties réelles et imaginaires de

Z,, Zn, ..., Zn—I, ïi{z,, Zn, . . ., Z,i—i).

La distance MM" est précisément

Nous aurons alors

V = logl..„-HKlog|8|;

le second terme est fini, le premier est négatif et très grand ; il est égal à logMM".

Mais comme £ représente la plus courte distance de M à C et que M" est sur C, on a

MM''>£, et par conséquent

|logMM"|<|loge|.

Donc V est de l'ordre de loge. c. q. f. d.

Passons au second cas où

F=(;^-f-H,ô,^-hH,s„+ Ho)e.

Soient //,, /(,, /« , les trois racines de l'équation

Z^ -+- UnZ^ -h H| Z„ -+- Ho = O.

Soient M'[, M^, M, les trois points dont les coordonnées sont les parties réelles et imaginaires de

Z\, Zn, ■ ■ -, ^n l, «1, Z\, Z^, . . ., ^«l, /(■>,

Z\y 2-2, - • - j .s„i, An.

Ces trois points sont sur C et l'on aura

\z'' +H,;^^ H,;„-hH„| =MM'; x MMJ x MM';;

d'où

V = log(MMÏ.MMi'.MM;) + log | 8 |.

Le second terme est fini.

Quant au premier il est plus en valeur absolue que

3 logE; car les points ]\I", M", M, étant sur C, on a

mm;>£, mm:;>£, mm2>e.

Donc V est de l'ordre de logé. c. g. f. d.

2° Les dérivées premières de V sont de l'ordre de - ■

Ces dérivées premières sont les parties réelles et imaginaires de

f/logF </logF ^/logF

dzi ilZi ' ' ' dzii

Nous pouvons toujours supposer que toutes les dérivées successives de F par

rapport à Zn ne s'annulent pas à la fois, non plus que toutes les dérivées par

rapport à S(, non plus que toutes les dérivées successives par rapport à z^,, etc.

Car, ainsi que je l'ai dit plus haut, s'il n'en était pas ainsi, on n'aurait qu'à

faire un changement linéaire de variables.

f/\oo F 11 suffira d'ailleurs de démontrer la proposition énoncée pour — -j^ ; si

l'on a

il vient

f/logF I (/loge

t/z„ z„—li dz„

Le second terme est fini et le premier a son module égal à -j-r^, et par conséquent plus petit que - • .Si l'on a

F = ( c^ -h Ho zf, - H, ;„ + H„ )8 = ( z„ - /i, )(s„ ~ /(., )(s„ - />,)e,

il vient

c/logF I I I (/lug6

dz„ Z„ — Al Z: — /(. z„ — //3 (/z„

Le dernier terme est fini et les trois autres ont leurs modules égaux à

MM

c'est-à-dire plus petits que -•

Donc dans tous les cas le module de — r^ — est de l'ordre de - •

3° L'expression

tend vers l'unité; quand le point M' dont les coordonnées sont x'^ el y'/, est sur la variété C; quand la distance de M' au point M dont les coordonnées sont x/.et }'/, tend vers zéro; quand enfin la droite MM' est normale à la variété C.

Exprimons d'abord que la droite MM' est normale à la variété C. Nous aurons les équations suivantes :

Aï AS ■ ■ a;;

qui correspondent aux équations (3) du paragraphe précédent.

Dans ces équations A^' a la signification suivante. Soit A/, ce que devient

-z — quand on y remplace les Z/i par z'/. ; A" sera l'imaginaire conjuguée de A/,.

D'antre part E est la partie réelle de

La formule des accroissements finis nous donne ensuite

B/; étant une quanlilé complexe dont la partie réelle est comprise entre celle de A/, et celle de -r- et dont la partie imaginaire est comprise de même entre

celles de Ai et de —. — En effet F est nul pour ;/.= z'/. puisque le point M' est sur C.

Il vient alors

^nk{z,-z'^)-- ',iz, ilAl'B, ■ Quand la distance MM' tend vers zéro, -7 — et B/, tendent vers A/, et J tend vers 1 .

(IZ/c

Il en est donc de même de sa partie réelle E. c. q. f. d.

Ainsi la troisième condition imposée à V dans le paragraphe précédent est remplie et la quantité 0 est égale à i .

POTENTIEL ET FON'CTIONS ABELIENNES.

Donc

La fonction log | F| est égale dans le domaine G à une fonction holoniorphe et harmonique des a: et des y, plus le potentiel de la variété attirante G, la densité de la matière attirante étant égale à i .

C^est là le théorème fondamental que je veux emprunter à la théorie du potentiel pour V appliquer à la théorie des fonctions abéliennes.

La déinonslralion du paragraphe pràcédent peut être un peu modifiée en substituant à la variété-canal K, une autre vai-iété peu diilérenle qui a pour équation

F i = consl.

En efTet résolvons l'équation

par rapport à 5„ et supposons que Ton trouve ainsi

et faisons-j

Soient H' et H" les parties réelles et imaginaires de H de telle sorte que

x„ = ir, V., = II".

Alors x,i et i'„ vont se trouver exprimés en fonctions de

de sorte que la quantité que nous avons appelée DJ sera la somme des carrés des déterminants contenus dans la matrice

dx„

<lx„

dx„

dx„

dx„

dx.

dXi

dj;

dt>

dy'n

dy„

dVn

dv„

rfO

J'ai en écrivant cette matrice supposé « = 3 pour fixer les idées, n. P. — IV.

On en déduit

, , '^ /«Ya-,, il y II ilxi, dy,.\- -^ ( f/j'n fly,, rlVi, dx„

"~2j\7uI "^Tij m' TïH) "^-^ \^ ~1ïï ~7iyk~d^

d'où

dzii

D'autre part nous aurons

1 „,, /fA'\'- V I ^'

Mais pour comparer cette formule avec la précédente, il importe de remarquer que dans l'une d'elles nous faisons entrer les dérivées partielles

dz„ dF

dz„ dzt

en regardiint ;„ comme fonction de F et dos ^^ cL dans l'antre les dérivées

dF

dzk '■

dF

dZn

en regardant F comme fonction de ^i, z.;.^ .... ;„ comparables, nous transformerons par les relations

Pour rendre les formules

dF ,fF^ dz„

<lzk dzn dzt

dV dz„ dzii 77k

ce qui donne

Df,=

■y dF

dF dz„

* Zi dzt

Envisageons l'intégrale qui correspond à / , à savoir

j ( U -y- — V -^ \ Do dxi d y, dx-, dy.,. . .dxn—i dyi,—i dll.

Entre quelles limites faut-il prendre cette intégrale? Pour nous en rendre compte, observons que le domaine G est arbitraire dans une très large mesure; nous pourrons le supposer défini par des inégalités de la forme suivante :

5<i<Xi<a'|, a2<ar2 <o:2,

Nous pourrons toujours supposer que les constantes a et S ont été choisies de telle sorte que si l'une des quantités ar„ ou y„ atteint l'une de ses limites «„, a'„, j3„ ou [3',,; et que l'une des inégalités relatives à Xn ou à j-„ soit remplacée par une égalité, le module | F | restera supérieur à une certaine limite. En effet donnons d'abord à ^i , -2, • • • , ~-n-\ les valeurs

a 1 -(- t ^>i , ao -t- i 05 ,

nous pourrons choisir a„, [3„, a'^ et j3'^ de telle sorte que si nous considérons dans le plan de la variable 2,, le rectangle dont les côtés ont pour équations

Xn — iJ«j

F ne s'annule pas sur le périmètre de ce rectangle et sannule à l'intérieur de ce rectangle.

Si ensuite y!,- est assez voisin de a/, et Pj. assez voisin de H/(7 F ne s'annulera pas non plus quand z-n décrira le périmètre de ce rectangle et quand en même temps Xk variera de a/, à (x^ et ^)v, de (3/,. à (3'^ (/.' = i , 2, . . . , « — i). Ainsi se trouve justifiée l'hypothèse faite plus haut.

Dans ces conditions, les limites de l'intégration seront

ax et ai pour Xk

'}k et [i't pour Yk (/' = I,

o et 2- pour 0,

pourvu que | F | soit plus petit que le plus bas module que puisse atteindre F fjuand z-a décrit le périmètre du rectangle dont il vient d'être question. Cela posé l'intégrale

<lxx...dY„-id^

tend vers zéro quand |F| tend vers zéro, et il nous suffira d'envisager l'intégrale

Tu ^' Do tlx, . . . r/)-„, r/0 =y

(/F dz-k

(Ixx . . .dy,i—i dH.

Quand 1 F I lend vers zéro, la variété | F | ;= const. tend à se confondre avec C et la quantité sous le signe / tend vers la valeur qui correspond aux points de

la variété C.

Elle devienl donc indépendante de 0, eL en inlégranl d'abord par rapport à 0, notre intégrale devient

dF

'Iz-k

/F dz„

/■/./■, . . .iIy,i—\.

Comparons-la avec l'Intégrale qui représcnle l'aire de C. Il est aisé de \ oir que cette intégrale est égale à