VI. — Généralisation du théorème

Soit dans l'espace à n dimeusions une v:iriélé S i\ n — 1 dimensions; supposons que cette variété soit fermée et limite un domaine G.

Soit mainleuant C une variété anuljtiqueà n — 2 dimensions; nous mettrons les équations de la variété C sous la forme suivante :

(i) Xk=:ik(U, U., ..., tn-i) (k = i, î, ..., n).

Cela posé, considérons les hjpersphères de rayon s ayant pour centre un point de C. L'équation générale de ces hjpersphères sera

et cette équation contient n — 2 paramètres arbitraires qui sont les /. Pour

avoir l'enveloppe de ces hypersphères, il suffit de difTérenlier l'équalion (2) par rapport aux paramètres /, ce qui donne les « — 2 équations

(3) •L{xk-<fk)'^=o (/i = i, 2, ..., n-2).

En éliminant les t entre les équations (2) cl (3) on obtiendrait l'équation d'une variété h n — 1 dimensions que j'appelle K et qui est une sorte de variétécanal.

Posons

Xk — î* = «jt - cos 6 -f- Ti^ £ sin 6,

el cherchons à choisir les a et les (3 de telle façon que les équations (2) et (3) soient satisfaites quel que soit 6; nous obtiendrons les équations suivantes qui définissent les a et les (3

^^^ Lo.J^ = spJ=o (A = .,2, ...,«-2).

Je dis que les cosinus directeurs de l'élément de surface de R, c'est-à-dire les quantités que j'ai appelées

au paragraphe II sont égales à

!— = a<- COS 0 -t- yjk sin 0.

Pour cela il suflU de vérifier que l'on a

et en outre

ou ce qui revient au même

2(xx.— yi)-^ =0, Mu

Ces conditions sont évidemment rempliiîs, car en ditrérentiant (2) on trouve 2(^*-?0 777]^-="' S(^,-9,)-;^=o,

et en combinant avec (3) on retrouve (à).

On déduit de là

D„= 2(aiCose + ^iAsiiiO)Di,

c'est-à-dire que D„ est égal au déterminant

dx), (Ixk dxk dxk

Or on a

dtn-

1 «tcosO ■+- 3i sinO

f/x). f/ix /dct/, d^k . ,,\

— — = —, H £ 1 — r- cosOh 'r- sin 0 ),

(/t lit \ dt dt /'

et comme £ est très petit, on peut écrire

dxk dijk dt ~ dt

Il vient donc, en négligeant £- :

I (hk dzk '-'o— TT' ~j:~>

I dti dii

dt,.

ou bien

£ ( — a/- sin 0 -H ''jk cos 0 ), a-k cos 0 -1- jj^ sin 0

d'^k djk d:^k

,lt, ' <lt-i ' ■ ■ ■ ' dt„^«

» i^A, ax

Remplaçons les lignes m'"'"" et yj'^™" du déterminant par deux lignes ainsi obtenues; l'une sera obtenue en multipliant la première ligne |)ar «i, la seconde par «2, ..., la «"'"" par :z„, et ajoutant; l'autre en multipliant la première ligne par p, , la seconde par (3|,, .... la n"^"'' par (j„ et ajoutant. Le déterminant se trouve ainsi multiplié par

En tenant compte des équations (4) on voit que tous les éléments des ideux lignes nouvelles sont égaux à o ou à i et l'on conclut

( «m P^ — «/, pw ) Uo = £A,„,/„

A,„ ,, étant le mineur obtenu en supprimant les deux dernières colonnes et les lignes m et p.

POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES. 2l3

On a " ' " ~ équations de cette forme. En faisant la somme des carrés, et remarquant que

on trouve

-(«m P/)— a/)Pm)- = I,

Nous poserons

et il viendra, aux quantités près de l'ordre de e- :

Do=eA„.

L'aire de la variété C est donc représentée par l'intégrale n — 21""

/ Ao dt, r//, . . . dtn—1,

et celle de K (en négligeant e-') par l'intégrale n — ip'"

£ TAo dti fit. . . . dt„,. rfe.

11 nous faut distinguer quelles seront les parties de la variété-canal K qui conviennent. Nous ne conserverons de cette variété que les points qui satisferont aux deux conditions suivantes :

1° ils seront à l'intérieur de S ;

2° leur plus courte distance à C sera précisément £, et non pas plus petite que e.

Les circonstances suivantes peuvent en efTet se présenter :

1" Il peut arriver que le point Xi^ x^, . . . , ir„ de K soit à l'extérieur de S, tandis que le point correspondant ©i, œ.j, . . . , œ,, de C est à l'inlérieur de S.

2" Il peut arriver au contraire que le point ^r,, a-j, . . . , a:,, de K soit à l'intérieur de S, tandis que le point correspondant ^j, cp», ■ • -, On de G sera à l'extérieur de S.

3" Il peut arriver enfin que l'on puisse du point Xi, x^i, . . .. x„ mener deux normales à C, l'une égale à e, l'autre plus petite que s, de telle façon que ce point appartienne à K, mais que sa plus courte distance à C soit cependant plus petite que £.

2i4 POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.

Soit R| la portion de K formée par les points j-,. x-^, • • -, ^n, tels que les points correspondants cpi, cpo, . . . , o„ de C soient à l'intérieur de S. La portion de K qui convient au problème sera alors

Kl — A -4- k' — k" ;

Â-, lieu des points Xi.x-xi ■■■i-^n qui sont extérieurs à S, mais tels que les points cpi, cpî, . . . , 9,1 correspondants soient intérieurs à S ;

A', lieu dos points ;r,, ar.j, . . ., T„ qui sont intérieurs à S, mais tels que les points cp,, cp2, . . . , 9,, correspondants soient extérieurs à S ;

A", lieu des points d'où l'on peut mener à C deux normales, l'une égale à £, l'autre plus petite que e.

Je dis que l'aire totale de A, A' et A" est de l'ordre de £-.

Démontrons-le d'abord pour A et A'.

Si les deux points x^, x^, . . . , j;„ et cp, , 90, • • -^ ?« «ont l'un extérieur et l'autre intérieur à S, comme la distance de ces deux points est e, la plus courte distance de cpi, <pa, . . . , 9,, à S sera plus petite que e. Considérons la partie de C formée par les points 91, 93, . . . , 9;, dont la plus courte distance à S est plus petite que £. Son aire, représentée par l'intégrale

/ Ao dti dit . . . c/t„,

sera, je suppose, égale à A. L'aire de A + A', représentée par l'intégrale

e j A„ dti dl-2 . . . dt„ f/8, sera alors plus petite que

2re£ A.

Je dis que A. est de l'ordre de £.

Pour nous en rendre compte, supposons par exemple que la variété S soit une hjpersphére

(xi— ai)^ -{-{J^i— ai)--h. . .-h{x,i— a„y-= p-,

et faisons varier p.

Soit F(p) l'aire de la partie de la variété G contenue à l'intérieur de cette hypersphére.

Nous allons faire varier p depuis zéro jusqu'à po par exemple; cet intervalle

va pouvoir se partager en un nombre fini d'intervalles partiels, de telle sorte que dans chacun de ces intervalles partiels, F(p) soit une fonction analytique de p.

Si nous donnons àp uno valeur comprise à l'intérieur d'un de ces intervalles, A sera égal à

F(pH-£)-F(p-£),

et comme la fonction K est analytique, A sera de l'ordre de s.

On peut d'ailleurs éviter cette difficulté par l'artifice suivant.

•Soit C l'intersection de C et de S; c'est une variété à n — 3 dimensions. Soit 'jt, (pa, . . . , cp„ un point de C; oi/^ et 3/, les valeurs correspondantes des coefficients y. et (3 définis plus haut.

Considérons l'ensemble des points

x/c= 9i-+- Ç(ax-cosfl + pA sinO),

où les 'jf/i (ainsi que les «/, et |3<.) prennent toutes les valeurs qui correspondent aux différents points de G' ; où 0 varie de zéro à 27: et Ç de zéro à e.

Cet ensemble de points formera une variété W à n — i dimensions qui s'écartera peu de S, puisque le point cpi, cpa, . . . , cp„ est sur S et que Ç est très petit.

Remplaçons S par une variété S' peu différente, mais comprenant la variété VV; il n'y aura plus alors d'aires k et A'; car si le point cpi, 9^, . . . , cp„ de C est à l'intérieur de S', il en est de même du point correspondant X|, x^, . . ., x,, de K et inversement. Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que lorsque le point cp<. de G traverse S', il est sur C et par conséquent le point correspondant ^a est sur W et par conséquent sur S', puisque W fait partie de S'.

Passons maintenant à k" ; je dis que l'aire de k" sera très petite, non seulement d'une manière absolue, mais par rapport à s.

Eu effet, l'équation de la variété-canal K peut poure très petit se mettre sous la forme suivante :

Soient

F=o, Fi = o

les équations de la variété C; l'équation de R s'écrira en négligeant les puissances supérieures de s:

__ FF V/— ^'\ -^F'V/— V =fS' ('^ ^-^ ^V ^ 'Zd\dj: dx / ' Zà\dxl Zu\dXi dxk dxk dxi)

ai6 POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.

Celte variété ne présentera pas de singularité, à moins que tous les déterininanls

dP, r/F rrP, dF dx, dxk dxk dxi

ne s'annulent à la fois. Si cela n'a pas lieu, dans un certain domaine, ou est donc certain que deux nappes de la variété K ne peuvent pas se couper dans ce domaine, et par conséquent que ce domaine ne contient aucune partie de k" .

L'ensemble des points de C tels que tous ces déterminants s'annulent forme une variété singulière G" qui aura au plus n — 3 dimensions.

Si le point oi, o^,, . . ., cp„ de C n'est pas sur C", nous pourrons choisir £ assez petit pour être certains que le point correspondant r,, j;^, . . . , ar„ de K n'est pas sur A".

Soit alors Ci l'ensemble des points de C dont la plus courte distance à C est plus petite que o. Nous pourrons prendre z assez petit pour que si le point r:f^, cp2, .... 9,1 de G n'est pas sur Ci, nous soyons certains que le point correspondant Xi, X-,, . . . , x„ de K ne sera pas sur A". Il est à remarquer que la valeur que l'on iloit attribuer à z doit être d'autant plus petite que 5 est plus petit.

Soit A l'aire de G|, elle sera de l'ordre do i5. L'aire de A " sera plus petite que 27rîA. Quand 0 et par conséquent z tendent vers zéro, on voit que le rapport de l'aire de A" à e tend vers zéro. c. q. f. n.

Envisageons maintenant une fonction V jouissant des propriétés suivantes :

i" Elle est harmonique à l'intérieur de la variété S, sauf sur la variété G. 2° Quand le point .ri, x.,^ . . . , j"„ est à une distance e de la variété G, elle est de l'ordre de logs.

3" En même temps ses dérivées premières sont de l'ordre de -•

4" Considérons un point oi, cpj, . . ., 9,1 de C et un point X|, x.^, . . . , x,i très voisin du premier, et tel que l'on ait

•r*— çx = a<.ecos8 -I- p<£ sinO,

les o(x et les 3/, étant les coefficients déllnis plus haut et correspondant au point 9t, 93, . . ., 9„; je supposerai que l'expression

,dY. ^dV , ^dW

tend vers une limite finie indépendante de 0 quand z tend vers zéro.

Cette limite que j'appellerai 0 est évidemment une fonction des coordonnées 9) , 92, . . . , 9,1 du point considéré de C.

Cela posé, soit

ri f'-, ■■■, Xn

un punit quelconque intérieur à S. Posons

Soit ensuite i l'hjpersphére

Dans le domaine limité par la variété S, par l'Iiypersphére 2 et par la variétécanal K, les deux fonctions V et U sont harmoniques, nous pouvons donc appliquer le théorème de Green et écrire

V —, U —z- I dit) = o,

«V CfV

les intégrales étant prises le long des variétés qui limitent le domaine, c'est ce que je mettrai en évidence en écrivant l'équation qui précède sous la forme suivante :

ou bien encore

Si représente ici la partie de S qui est extérieure à K. Je vais maintenant faire tendre evers zéro.

Je dis que / lend vers une limite finie et déterminée que j'appellerai / . En

elTel la variété S a n — i dimensions, l'intersection de C et de S en a « — 3; l'aire de S — Si (c'est-à-dire de l'ensemble des points de S dont la distance à G est plus petite que e) sera donc de l'ordre de £'. Si nous changeons £ en s', e' étant plus petit que s et tel que la différence i — s' soit très j^etite par rapport à £, si nous a[)pelons s l'ensemble des points de S dont la distance à G est comprise entre î et e'; l'aire des sera de l'ordre de £(£ — e'); de plus dans*, les

fonctions U et — r sont finies, tandis que V et -y- sont de l'ordre de logé et de - • L'intégrale / est donc de l'ordre de £ — £'. ?S^ous en concluons que l'intégrale

et même l'inlégrale

i(hShh'Sl)-

sont finies.

De plus d'après les théorèmes 2 el 3 généralisés, la première intégrale est une fonction holomorphe et harmonique des r.

Ainsi quand £ tend vers zéro, l'intégrale / lend vers une fonction holomorphe et harmonique des y.

En même temps, les intégrales / > / ' / tendent vers zéro ; en ell'et les

aires d'intégration k, A' el /." sont très petites par rapport à £ et la fonction sous le signe / est de l'ordre de -^•

Passons à l'intégrale / . L'aire de 1 est proportionnelle à £"^'. A la surface

de 1, V et -^ sont finis ; U est égal à ~^ ^' 7/7 ^ " ~,^- Donc quand £ tend vers zéro,

•-'(vf-O

tend vers (n — 2) V„, V„ étant la valeur de \' au point de ji, > '3, . . ., j„, c'està-dire au centre de 2.

La limite de l'intégrale / est donc égale à V„ multipliée par un facteur constant numérique.

Reste l'intégrale j . Elle est égale à

dx.

en représentant par

l'aire de C.

/ rfx = / A(, Ht^ Ht. .. . r/t»-.

V est de l'ordre de logé et— r- est fini, donc

tend vers zéro. D'autre part U est égal à r--" et

^dS ^ dS

tend vers ô. Donc l'intégrale / tend vers

r désignant la distance de l'élément dz au point r,, y\, . . . , yn-

C'est le potentiel d'une variété attirante k n — 2 dimensions, au pointai,

yj, . . ., jn- La variélc attirante est C et la densité de la matière attirante estô. Notre équation devient ainsi

G étant un coefficient constant.

Nous arrivons donc à l'énoncé suivant qui est la généralisation de notre théorème 4 :

ISotre fonction V est^ dans le domaine considéré, égale au potentiel delà variété attirante C, plus une fonction holomorphe et harmonique.

On pourrait dans la démonstration précédente, remplacer la variété-canal K, par d'autres variétés très peu différentes et qui joueraient le même rôle. Nous en verrons un exemple dans le paragraphe suivant.