VIII. — Application aux fonctions Abéliennes

Nous allons appliquer ce qui précède aux fondions di; 11 xariaLles méromorphes et in fois périodiques.

Qu'est-ce d'abord qu'une fonction méromorphe ?

Voici les hypothèses que nous allons faire et que nous rpgardons comme constituant la définition d'une fonction méromorphe.

Il J aura dans l'espace à 27i dimensions une infinité de domaines G, distribués de telle façon f[ue tout point de l'espace à 2« dimensions a])parlienne au moins à un de ces domaines.

Dans un domaine G, la fonction méromorphe pourra être représentée par le quotient de deux séries de puissances.

Je ne restreins pas la généralité en supposant que ces deux séries de

puissances ne peuvent être l'une et l'autre divisibles par une troisième série de même forme s'annulant à l'intérieur de G.

Weierstrass a démontré en efTel (OEuvres complètes, 2, p. i5i) que si deux séries de puissances Pi et P-, s'annulent en un certain point M, on peut toujours trouver trois autres séries P„, P', , P'o telles que Ton ait

l'u= PoP'o,

et telles que les deux séries P', et P'^ n'admettent aucun diviseur commun s'annulant au point M.

Qu'arrive-t-il alors dans la parlie commune à deux domaines G et G'?

Dans le domaine G, la fonction méromorphe F sera égale au quotient do

deux séries ^; dans le domaine G' au quotient de deux séries -y,; dans la parlie

commune on aura

La variété P^oa 211 — 2 dimensions; je dis que dans la parlie commune à G et à G', elle ne diffère pas de la variété P'^ o.

Supposons en effet, qu'en un point de celte partie commune, on ail P'=o sans avoir P = o ; soit

ce point que j'appellerai AI. Je pourrai toujours supposer qu'en ce point toutes les dérivées successives de P' par rapport à z,, ne s'annulent pas à la fois, sans quoi je ferais un changement linéaire de variables. Imaginons par exemple

Alors on aura

P' = [( Zn — a,,)-' -i- Uy(z-n— a,.y -h lU.(z„ - a„) -i- U::]B = n.&,

où les II sont des séries ordonnées suivant les puissances de Zi — cTi, :;:> — 0-2. •••■ -«— i — '''/i— Il

et s'annulant pour Z/t= a/,, et où 0 est une série ordonnée suivant les puissances des Sa — a/, et ne s'annulant pas pour :r<= «x.

23o POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES.

Soil alors

11 = (;„— «„— /(,)(;,, — «„— hi)(=„— n„— /ij);

h,, /i2 et hj seront des fonctions de

s'annulant avec ces variables.

Quand on égalera z„ à a„-\-h,, a„-\- h.,, On + lis', P' sera nul cl P ne sera pas nul, donc Q' devra s'annuler; donc Q' est divisible par H, ce qui est absuTde puisque nous avons supposé que P' et Q' n'avaient pas de diviseur commun.

Donc les deux variétés P =o, P'^ o sont identiques.

Il en est évidemment de même des deux variétés Q = o, Q'= o.

J'appellerai C la variété P = o; et G la variété Q = o; j'appellerai W l'intersection de ces deux variétés qui est elle-même une variété à 2 7t — 4 dimensions.

Il iniporlail de démonircr que la définition de la variété C ne dépendait pas de la façon dont F est mise sous la forme du quotient de deux séries, c'est-à-dire que les deux variétés P = o et P'^ o sont identiques ; je puis ainsi étendre nos variétés C et C au delà du domaine G.

Supposons maintenant que notre fonction méromorphe F est 2« fois périodique. L'espace à ■in diuicnsions va se trouver partagé en une infinité de prismatoïdes des périodes dont le rôle est analogue à celui des parallélogrammes des périodes dans la théorie des fonctions elliptiques.

Soient

n„, R,, R„ ..., lu. ...

ces prismatoïdes; l'ordre des indices est d'ailleurs arbitraire jusqu'à nouvel ordre.

Je désignerai par C^, C|(, W^ les portions de variétés (î, C, W qui sont intérieures au prismaloïde R^.

L'aire de Ci sera finie; ce sera une constante qui sera la même pour C^ que pour Co; car la variété Ci n'est autre chose que la variété Cu transportée parallèlement à elle-même. Soit A celte aire.

Soit dû)' un élément de l'aire de la variété C, M' son centre de gravité, x\, y\, . . . , x',,, y'^ ses coordonnées. Soit M le point de coordonnées courantes, X\, y\, . . ., Xn: Xn ses coordonnées. Soil /• la distance MM'.

POTENTIEL ET FONCTIONS ABÉLIENNES. 23l

Considérous l'intégrale

étendue à tous les éicmeuts d(,)' de la variété C/, (c'csl-à-dire le potentiel de celte variété C*)-

Développons „ .suivant les puissances croissantes des x et des y,

c'est-à-dire des coordonnées du point M. et écrivons

-Î-; =U„+Ui+Uo

Lu étant un ensemble de termes homogènes de degré A" par rapport aux .r et aux y.

Supposons que les coordonnées x et y soient finies et les coordonnées x' el y' très grandes, de telle façon que

p= v^Z./v-l-Sl-r

distance du point M' à l'origine, soit un infiniment grand du premier ordre. Alors U„ sera égal à

et sera un infiniment petit d'ordre 2rt — 2.

Ui sera un infiniment petit d'ordre 2« — i, Uj d'ordre 2/1, etc. Si nous posons